原创题集

不等式

(2019.3.30) 已知正实数$x,y$满足$x+y=1$.则$(1+x)(1+2y)$的最大值是______.

解法1:\begin{align*} (1+x)(1+2y)&=2(1+x)(\frac{1}{2}+y) \\&\leq 2 \left[\frac{(1+x)+(\cfrac{1}{2}+y)}{2}\right]^{2} \\&=\frac{25}{8}. \end{align*}
最大值当且仅当$1+x=\frac{1}{2}+y$,即$x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}$时取得.

解法2:\begin{align*} (1+x)(1+2y)&=(2-y)(1+2y) \\&=-2\left(y-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{25}{8} \\&\leq \frac{25}{8}. \end{align*}
最大值当且仅当$y=\frac{3}{4}$,$x=\frac{1}{4}$时取到.

(2019.3.30)已知实数$x>-1,y>-\frac{1}{2},z>-\frac{1}{3}$,且满足$x+y+z=1$.则$(1+x)(1+2y)(1+3z)$的最大值是_______.

解法1:
\begin{align*}
(1+x)(1+2y)(1+3z)&=2 (1+x)(\frac{1}{2}+y)(1+3z)
\\&\leq 2 \left[\frac{(1+x)+(\frac{1}{2}+y)}{2}\right]^{2}(1+3z)
\\&=\frac{1}{8}\left(5-2z\right)^{2}(1+3z).
\end{align*}
令$f(z)=(5-2z)^2(1+3z)$,则$f'(z)=(5-2z)(11-18z)$.可得当$z\in
\left(0,\frac{11}{18}\right)$时$f'(z)>0$,即$f(z)$在区间$\left(0,\frac{11}{18}\right)$上单调递增.当$z\in \left(\frac{11}{18},1\right)$时$f'(z)<0$,即$f(z)$在区间 $\left(\frac{11}{18},1\right)$上单调递减.故$f(z)$的最大值为 $f\left(\frac{11}{18}\right)=\frac{4913}{972}$. 最大值当且仅当$z=\frac{11}{18}$,$y=\frac{4}{9}$,$x=-\frac{1}{18}$时取 到. 

 

解法2:(三元平均值不等式) \begin{align*} (1+x)(1+2y)(1+3z)&=6(1+x)(\frac{1}{2}+y)(\frac{1}{3}+z) \\&\leq 6 \left[\frac{(1+x)+\left(\frac{1}{2}+y\right)+\left(\frac{1}{3}+z\right)}{3}\right]^3 \\&=\frac{4913}{972}. \end{align*} 最大值当且仅当$1+x=\frac{1}{2}+y=\frac{1}{3}+z$,即$x=-\frac{1}{18}$,$y=\frac{4}{9}$,$z=\frac{11}{18}$时取到. 

(2019.1.24)已知$x,y,z\in \mathbf{R}$且$x^2+y^2+z^2=1$,则$\sqrt{2}xz-x^2y^2$的最大值是_____,最小值是_____.

:参考博文向量法解一道动态立体几何题(2)的后半部分.

立体几何

(2019.2.6) 如图,棱长为$9$的正四面体$A-BCD$的顶点$A$在平面$\alpha$上,三条棱$AB,AC,AD$在平面$\alpha$的同一侧.若顶点$B,C$到平面$\alpha$的距离分别为$6$和$3$.则顶点$D$到平面$\alpha$的距离是______.

:参考博文正四面体的顶点到一平面的距离.

线性代数与解析几何

(2019.3.8)给定三棱锥$O-ABC$.且平面$OAB$,平面$OBC$,平面$OCA$两两互相垂直.证明:向量
$$
\bm{n}=\ov{OA}\times\ov{OB}+\ov{OB}\times\ov{OC}+\ov{OC}\times\ov{OA}
$$
垂直于平面$ABC$且$|\bm{n}|=2S_{\triangle ABC}$.


:$$
\ov{AB}\times\ov{AC}=(\ov{OB}-\ov{OA})\times (\ov{OC}-\ov{OA})=\ov{OA}\times\ov{OB}+\ov{OB}\times\ov{OC}+\ov{OC}\times\ov{OA},
$$
故$\bm{n}$垂直于平面$ABC$且$|\bm{n}|=2S_{\triangle ABC}$.

数列

(2019.4.19)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,对于任意的$n\in\mathbf{N}^*$,有$a_{n+1}=3a_n+1$.

(1)设$b_n=a_{n+1}-a_n$,求证数列$\{b_n\}$是等比数列;

(2)求数列$\{a_n\}$的通项公式.