举例说明将任意方阵相似到上三角矩阵的步骤

我们曾经叙述了将任意方阵相似到上三角阵的原理,并举了几个简单的例子.在此,我们举一个更复杂的例子来说明.

 

设线性变换{T}在基 {\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4)}下的矩阵 {[T]_{\alpha}^{\alpha}=A},其中{\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量是{1},其余 分量是{0},且矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 4&3&0&0\\ -3&-2&0&0\\ 1&2&-3&-2\\ 4&3&8&5 \end{bmatrix},

求得矩阵{A}的特征值为{1,1,1,1}.矩阵{A}的特征值{1}对应的其中一个特征向量是{ \mathbf{v}_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}_{\alpha} }.然后再选取向量{\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },{\mathbf{v}_3= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },{\mathbf{v}_4= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },使得{\beta=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4)}构 成{\mathbf{C}^4}的一组基.

{T}在基{\beta}下的矩阵

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 1&-2&-\frac{3}{2}&-4\\ 0&4&3&0\\ 0&-3&-2&0\\ 0&3&\frac{7}{2}&1 \end{bmatrix},

将矩阵{[T]_{\beta}^{\beta}}的第{1}行和第{1}列除去,得到它的子矩阵 {A'}.事实上,

\displaystyle \mbox{span}\left\{\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\right\}

形成{\mathbf{C}^4}的一个三维子空间{W_3}, {\gamma=(\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4)}{W_3}的一组基底.可 以构造线性映射{G:W_3\rightarrow W_3},使得{G}在基{\gamma}下的矩阵是{[G]_{\gamma}^{\gamma}=A'}.对于矩阵

\displaystyle A'= \begin{bmatrix} 4&3&0\\ -3&-2&0\\ 3&\frac{7}{2}&1 \end{bmatrix}

来说,其特征值是{1,1,1}.矩阵{A'}的特征值{1}对应于某个特征向量{\mathbf{w}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma} }.而

\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma}=0 \begin{bmatrix} 4\\ -3\\ 3 \end{bmatrix}_{\gamma}+0 \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ \frac{7}{2} \end{bmatrix}_{\gamma}+1 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_2'=0 \begin{bmatrix} -2\\ 4\\ -3\\ 3 \end{bmatrix}_{\beta}+0 \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}\\ 3\\ -2\\ \frac{7}{2} \end{bmatrix}_{\beta}+1 \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta}= \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta},

{\mathbf{C}^4}的一组基 {\beta'=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2',\mathbf{v}_{3}',\mathbf{v}_{4}')},其中向量 {\mathbf{v}_{3}',\mathbf{v}_{4}'}待定,不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_3'= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta},\mathbf{v}_4'= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta},

则线性映射{T}在基{\beta'}下的矩阵是

\displaystyle [T]_{\beta'}^{\beta'}= \begin{bmatrix} 1&-4&10&\frac{25}{2}\\ 0&1&3&\frac{7}{2}\\ 0&0&4&3\\ 0&0&-3&-2 \end{bmatrix}.

再将矩阵{[T]_{\beta'}^{\beta'}}的前两行和前两列除去,得到子矩阵{A''}.事 实上,

\displaystyle \mbox{span}\{\mathbf{v}_3',\mathbf{v}_4'\}

形成{\mathbf{C}^4}的一个二维子空间 {W_2}.{\gamma'=(\mathbf{v}_3',\mathbf{v}_4')}{W_2}的一组基底.可以构 造线性映射{G':W_2\rightarrow W_2},使得{G'}在基{\gamma'}下的矩阵是 {[G']_{\gamma'}^{\gamma'}=A''}.矩阵

\displaystyle A''= \begin{bmatrix} 4&3\\ -3&-2 \end{bmatrix}

的特征值是{1,1}.矩阵{A''}的特征值{1}对应于某个特征向量{\mathbf{w}_1'= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\gamma'}. }

\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\gamma'}=1 \begin{bmatrix} 4\\ -3 \end{bmatrix}_{\gamma'}-1 \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix}_{\gamma'},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_3''=1 \begin{bmatrix} 10\\ 3\\ 4\\ -3 \end{bmatrix}_{\beta'}-1 \begin{bmatrix} \frac{25}{2}\\ \frac{7}{2}\\ 3\\ -2 \end{bmatrix}_{\beta'}= \begin{bmatrix} -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\beta'}.

{\mathbf{C}^4}的一组基 {\beta''=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2',\mathbf{v}_3'',\mathbf{v}_4'')}, 其中{\mathbf{v}_4''}待定,不妨让{\mathbf{v}_4''= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'} }.则线性映射{T}在基{\beta''}下的矩阵是

\displaystyle [T]_{\beta''}^{\beta''}= \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

{[T]_{\beta''}^{\beta''}}已经是上三角矩阵了.下面我们写出把矩阵{A}相 似到{[T]_{\beta''}^{\beta''}}的矩阵分解式.

\displaystyle \begin{array}{rcl} \beta''&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta''}\right) \\&=& \left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta} \right) \\&=& \left( \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -3\\ 8 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} \right). \end{array}

所以矩阵{A}可以分解为

\displaystyle \begin{array}{rcl} A&=&[T]_{\alpha}^{\alpha}\\&=&[I]_{\beta''}^{\alpha}[T]_{\beta''}^{\beta''}[I]_{\alpha}^{\beta'}\\&=& \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}^{-1}. \end{array}

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