再举一例说明如何将任意方阵相似到上三角阵

我们曾经举例说明如何将方阵相似到上三角阵.下面我们再举个更复杂的例子.就让我当一回人肉计算机吧.

 

下面我们再举一例来说明如何将任意方阵相似到上三角矩阵.以矩阵

\displaystyle A_{1}= \begin{bmatrix} 2&1&0&-1&-1&0\\ 1&2&0&0&-1&1\\ -1&-1&4&1&0&-1\\ 0&-1&0&3&1&0\\ 0&0&0&0&4&0\\ 1&0&0&0&-1&3 \end{bmatrix}

为例.设线性变换{T:\mathbf{C}^{6}\rightarrow \mathbf{C}^6}在基 {\alpha_{1}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_6)}下的矩阵 {[T]_{\alpha}^{\alpha}}为矩阵{A_{1}},其中向量{\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量 是{1},其余分量是{0}.

先求矩阵{A_{1}}的特征值.设矩阵{A_{1}}的特征值是{\lambda_{1}},则

\displaystyle \begin{vmatrix} 2-\lambda_{1}&1&0&-1&-1&0\\ 1&2-\lambda_{1}&0&0&-1&1\\ -1&-1&4-\lambda_{1}&1&0&-1\\ 0&-1&0&3-\lambda_{1}&1&0\\ 0&0&0&0&4-\lambda_{1}&0\\ 1&0&0&0&-1&3-\lambda_{1} \end{vmatrix}=0,

解得{\lambda_{1}}等于{2,2,2,4,4,4,}.具体演算草稿见下图.

然后确定矩阵{A_{1}}的特征值{2}所对应的一个特征向量是

\displaystyle \mathbf{v}_1^{(1)}= \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}}.

然后再选取向量{\mathbf{v}_2^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)}},使得{\alpha_2=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)})} 构成{\mathbf{C}^6}的一组基.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_2^{(1)}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_3^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_4^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_5^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_6^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}}.

则线性变换{T}在基{\alpha_2}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_2}^{\alpha_2}= \begin{bmatrix} 2&1&0&0&0&-1\\ 0&3&1&0&-1&-2\\ 0&1&2&0&0&-1\\ 0&-1&-1&4&1&0\\ 0&0&-1&0&3&1\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

具体演算草稿如下.

将矩阵{[T]_{\alpha_2}^{\alpha_2}}的第{1}行和第{1}列去掉,得到它的子矩阵

\displaystyle A_{2}=\begin{bmatrix} 3&1&0&-1&-2\\ 1&2&0&0&-1\\ -1&-1&4&1&0\\ 0&-1&0&3&1\\ 0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_2^{(1)},\mathbf{v}_3^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{5}维子空间{W_5},且 {\beta_1=(\mathbf{v}_2^{(1)},\mathbf{v}_3^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)})}{W_5}的一组基.而且,存在线性变换{G_1:W_5\rightarrow W_5},使得 {[G_{1}]_{\beta_1}^{\beta_1}=A_2}.

矩阵{A_2}的特征值是{2,2,4,4,4}.矩阵{A_2}的特征值{2}所对应的某个特征向 量是{\mathbf{w}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}} }.

\displaystyle \mathbf{w}_1= 0\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ 0\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 4\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ \frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 3\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+0 \begin{bmatrix} -2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_{1}},

\displaystyle \mathbf{v}_2^{(2)}=0 \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ -1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 0\\ 1\\ 3\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+0 \begin{bmatrix} -1\\ -2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},

然后令 {\alpha_3=(\mathbf{v_{1}}^{(1)},\mathbf{v}_{2}^{(2)},\mathbf{v}_{3}^{(2)},\mathbf{v}_{4}^{(2)},\mathbf{v}_{5}^{(2)},\mathbf{v}_{6}^{(2)})}{\mathbf{C}^{6}}的一组基,其中 {\mathbf{v}_{3}^{(2)},\cdots,\mathbf{v}_{6}^{(2)}}待定.不妨令

\displaystyle \mathbf{v}_3^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}},\mathbf{v}_4^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},\mathbf{v}_5^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},\mathbf{v}_6^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_2}.

则线性映射{T}在基底{\alpha_3}下的矩阵

\displaystyle [T]_{\alpha_3}^{\alpha_3}= \begin{bmatrix} 2&0&1&0&0&-1\\ 0&2&0&-1&0&1\\ 0&0&3&1&0&-2\\ 0&0&1&3&0&-2\\ 0&0&-1&-1&4&0\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}.

具体的演算草稿见下图.

将矩阵{[T]_{\alpha_3}^{\alpha_3}}的前两列和前两行去掉,得到它的子矩阵

\displaystyle A_3=\begin{bmatrix} 3&1&0&-2\\ 1&3&0&-2\\ -1&-1&4&0\\ 0&0&0&4 \end{bmatrix},

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_3^{(2)},\mathbf{v}_4^{(2)},\mathbf{v}_5^{(2)},\mathbf{v}_6^{(2)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{4}维子空间{W_4},且 {\beta_2=(\mathbf{v}_3^{(2)},\mathbf{v}_4^{(2)},\mathbf{v}_5^{(2)},\mathbf{v}_6^{(2)})}{W_4}的一组基.存在线性映射{G_2:W_4\rightarrow W_4},使得{G_2}在基{\beta_2}下 的矩阵{[G_2]_{\beta_2}^{\beta_2}}{A_3}.

矩阵{A_3}的特征值是{2,4,4,4}.矩阵{A_3}的特征值{2}所对应的一个特征向量 是{\mathbf{w}_{2}= \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_2} },且

\displaystyle \mathbf{w}_2=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}+0 \begin{bmatrix} -2\\ -2\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_{2}},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_3^{(3)}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 3\\ 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 1\\ 3\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}+0 \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ -2\\ -2\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}.

{\alpha_4=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(2)},\mathbf{v}_3^{(3)},\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)})}{\mathbf{C}^6}的一组基,其中 {\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)}}待定.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_4^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3},\mathbf{v}_5^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3},\mathbf{v}_6^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_3}.

则线性变换{T}在基{\alpha_4}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_4}^{\alpha_4}= \begin{bmatrix} 2&0&1&\frac{3}{2}&0&-2\\ 0&2&1&\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&2&-1&0&2\\ 0&0&0&4&0&-4\\ 0&0&0&-1&4&0\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

具体演算草稿见下图.

将矩阵{[T]_{\alpha_4}^{\alpha_4}}的前{3}行和前{3}列删去,得到它的子矩阵

\displaystyle A_4= \begin{bmatrix} 4&0&-4\\ -1&4&0\\ 0&0&4 \end{bmatrix}.

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{3}维子空间{W_3}.且 {\beta_3=(\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)})}{W_3}的一组基.存在线性映射{G_3:W_3\rightarrow W_3},使得{G_{3}}在基{\beta_{3}} 下的矩阵{[G_{3}]_{\beta_3}^{\beta_3}}{A_{4}}.

矩阵{A_4}的特征值是{4,4,4}.矩阵{A_4}的特征值{4}所对应的一个特征向量是{\mathbf{w}_3= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3} }.且

\displaystyle \mathbf{w}_3=0 \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3}+\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3}+0 \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_3},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_4^{(4)}=0 \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -1\\ 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}+\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}+0 \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ 2\\ -4\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_4}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}.

{\alpha_5=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(2)},\mathbf{v}_3^{(3)},\mathbf{v}_{4}^{(4)},\mathbf{v}_5^{(4)},\mathbf{v}_6^{(4)})}{\mathbf{C}^6}的一组基,其中向量 {\mathbf{v}_5^{(4)},\mathbf{v}_6^{(4)}}待定.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_5^{(4)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4},\mathbf{v}_6^{(4)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_4}.

则线性变换{T}在基{\alpha_5}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_5}^{\alpha_5}= \begin{bmatrix} 2&0&0&0&\frac{3}{2}&-2\\ 0&2&0&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&2&0&-1&2\\ 0&0&0&4&-1&0\\ 0&0&0&0&4&-4\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}.

具体演算草稿见下图.

而基

\displaystyle \begin{array}{rcl} \alpha_5&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_4} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_3} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ 1\\ -\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_2} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}_{\alpha_1} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1} \right). \end{array}

因此可得矩阵分解式

\displaystyle \begin{array}{rcl} A_1&=&[T]_{\alpha_1}^{\alpha_1}=[I]_{\alpha_5}^{\alpha_1}[T]_{\alpha_5}^{\alpha_5}[I]_{\alpha_1}^{\alpha_5}\\&=& \begin{bmatrix} -1&0&\frac{1}{2}&0&1&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 1&0&\frac{1}{2}&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&0&0&\frac{3}{2}&-2\\ 0&2&0&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&2&0&-1&2\\ 0&0&0&4&-1&0\\ 0&0&0&0&4&-4\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1&0&\frac{1}{2}&0&1&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 1&0&\frac{1}{2}&0&0&0 \end{bmatrix}^{-1} \end{array}

Tags:

Reply

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据

%d 博主赞过: