矩阵的Schur分解

在此我们通过一个实例来解释如何将任意一个方阵酉相似到上三角矩阵,即求方阵 的Schur分解.以方阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 4&3&0&0\\ -3&-2&0&0\\ 1&2&-3&-2\\ 4&3&8&5 \end{bmatrix}

为例.在博文举例说明将任意方阵相似到上三角矩阵的步骤中,我们介绍了将矩阵A 相似到上三角矩阵的方法.只需将该方法再加上一个QR分解的步骤,便可以 将方阵{A}酉相似到上三角矩阵,这样就得到了矩阵A 的Schur分解.

让我们继续那篇博文.已得

\displaystyle A=MR_{1}M^{-1}=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}^{-1}. \ \ \ \ \ (1)

下面将矩阵

\displaystyle M=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}

进行QR分解.令向量{\mathbf{u}_i}是矩阵{M}的第{i}列向量.令 {\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_1},令

\displaystyle \mathbf{v}_2=\mathbf{u}_2-\frac{\mathbf{u}_2^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_2+\frac{19}{5}\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \frac{4}{5}\\ \frac{2}{5} \end{bmatrix},

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&\frac{19}{5}&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

\displaystyle \mathbf{v}_3=\mathbf{u}_3-\frac{\mathbf{u}_3^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1-\frac{\mathbf{u}_3^T\mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2=\mathbf{u}_3+\frac{3}{5}\mathbf{v}_1+\frac{1}{2}\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&\frac{3}{5}&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

\displaystyle \mathbf{v}_4=\mathbf{u}_4-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_3}{\mathbf{v}_3^T\mathbf{v}_{3}}\mathbf{v}_3=\mathbf{u}_4-\frac{1}{2}\mathbf{v}_3= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

因此

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{3}{5}&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\frac{19}{5}&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&-1&\frac{1}{2}\\ 1&\frac{4}{5}&0&0\\ -2&\frac{2}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\frac{19}{5}&-\frac{3}{5}&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

上式可化为

\displaystyle M=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}=QR_2= \begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{5}&-\frac{19 \sqrt{5}}{5}&-\frac{ 3 \sqrt{5}}{5}&0\\ 0&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&-\frac{\sqrt{5}}{5}&0\\ 0&0&\sqrt{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&0&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix},

这样就得到了矩阵{M}的QR分解.将矩阵{M}的QR分解代入表达式(1),可 得{A=MR_1M^{-1}=Q(R_2R_1R_2^{-1})Q^{-1}},化简即

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-10&- \frac{3 \sqrt{10}}{10}&-\frac{11\sqrt{10}}{10}\\ 0&1&- \frac{\sqrt{10}}{10}&\frac{13\sqrt{10}}{10}\\ 0&0&1&6\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix}^{T}.

(一些关键数据:

\displaystyle R_2^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{19 \sqrt{5}}{10}&\frac{5 \sqrt{2}}{4}&-\frac{5 \sqrt{2}}{4}\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}&-\frac{\sqrt{2}}{4}\\ 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&0&\sqrt{2} \end{bmatrix}.

) 这样就得到了矩阵{A}的Schur分解.

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