向量与三角形外心

继续在QQ群过着荒诞不经的生活.中学教研网(QQ号712018203)的六盘水―高中数学―苏世贤问了一道题,

题目:已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$,且$\angle A=60^{\circ}$.若$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}(\alpha,\beta\in \mathbf{R})$,则$\alpha+\beta$的最大值是 _______.

有人说这题用奔驰定理做.话是没错.可是有多少学生掌握了这个所谓的“奔驰定理”呢?事实上,即便不用“奔驰定理”,老老实实地用纯向量方法也能方便地解决这道题.解答如下,连画图都免了.

:由题意,
$$
\overrightarrow{AO}^2=\overrightarrow{BO}^2=\overrightarrow{CO}^2,
$$
结合$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}$,
可得
$$
(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}]^2=[\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}]^{2}.
$$
化简$(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}]^2$可

\begin{equation}
\label{eq:1}
(2\alpha-1)|\overrightarrow{AB}|+\beta|\overrightarrow{AC}|=0,
\end{equation}
同理,化简$(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}]^{2}$可得
\begin{equation}
\label{eq:2}
\alpha|\overrightarrow{AB}|+(2\beta-1)|\overrightarrow{AC}|=0.
\end{equation}
由\eqref{eq:1}和\eqref{eq:2}可得
$$
\beta=\frac{2}{3}-\frac{|\overrightarrow{AB}|}{3|\overrightarrow{AC}|},\alpha=\frac{2}{3}-\frac{|\overrightarrow{AC}|}{3|\overrightarrow{AB}|},
$$
因此
$$
\alpha+\beta=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}\right)\leq
\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2 \sqrt{\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\cdot\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{2}{3}.
$$
最大值当且仅当$\triangle ABC$是等边三角形时取到.

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