十月 2018

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本文利用线性方程组,给出配平任意化学方程式的通用方法.下面仅举两个复杂的例子.

1.配平化学方程式$$Fe+HNO_3+H_2O=Fe(OH)_3+NH_4NO_3$$

解:设 $$ x_1Fe+x_2HNO_3+x_3H_2O=x_4Fe(OH)_3+x_5NH_4NO_3. $$ 将$Fe_{p_{1}}H_{p_{2}}N_{p_{3}}O_{p_{4}}$用向量$
\begin{bmatrix}
p_1\\
p_2\\
p_3\\
p_4
\end{bmatrix}
$表示,则
$$
x_1
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}+x_2
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
1\\
3
\end{bmatrix}+x_3
\begin{bmatrix}
0\\
2\\
0\\
1
\end{bmatrix}=x_4
\begin{bmatrix}
1\\
3\\
0\\
3
\end{bmatrix}+x_5
\begin{bmatrix}
0\\
4\\
2\\
3
\end{bmatrix},
$$
上面方程的矩阵形式即
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0&-1&0\\
0&1&2&-3&-4\\
0&1&0&0&-2\\
0&3&1&-3&-3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}.
$$
将矩阵$
\begin{bmatrix}
1&0&0&-1&0\\
0&1&2&-3&-4\\
0&1&0&0&-2\\
0&3&1&-3&-3
\end{bmatrix}
$进行初等行变换,直到化为行最简型$
\begin{bmatrix}
1&0&0&-1&0\\
0&1&2&-3&-4\\
0&0&-2&3&2\\
0&0&0&-\frac{3}{2}&4
\end{bmatrix}
$.因此
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0&-1&0\\
0&1&2&-3&-4\\
0&0&-2&3&2\\
0&0&0&-\frac{3}{2}&4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
可得$x_1=8,x_2=6,x_3=15,x_4=8,x_5=3$是一组解.且其它所有的正整数解都是这组解的倍数.因此化学方程式可配平为$$8Fe+6HNO_3+15H_2O=8Fe(OH)_3+3NH_4NO_3. $$

2.配平化学方程式 $$ KMnO_{4}+FeSO_{4}+H_{2}SO_{4}=Fe_{2}(SO_{4})_{3}+MnSO_{4}+K_{2}SO_{4}+H_{2}O
$$

解:
$$
x_{1}KMnO_{4}+x_{2}FeSO_{4}+x_{3}H_{2}SO_{4}=x_{4}Fe_{2}(SO_{4})_{3}+x{5}MnSO_{4}+x_{6}K_{2}SO_{4}+x_{7}H_{2}O
$$
将$K_{p_{1}}Mn_{p_{2}}O_{p_{3}}Fe_{p_{4}}H_{p_{5}}S_{p_6}$用向量$
\begin{bmatrix}
p_1\\
p_2\\
p_3\\
p_4\\
p_5\\
p_6
\end{bmatrix}
$表示.则
$$
x_1
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
4\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}+x_2
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
4\\
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}+x_3
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
4\\
0\\
2\\
1
\end{bmatrix}=x_4
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
12\\
2\\
0\\
3
\end{bmatrix}+x_5
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
4\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}+x_6
\begin{bmatrix}
2\\
0\\
4\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}+x_7
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1\\
0\\
2\\
0
\end{bmatrix}
$$
上面方程的矩阵形式即
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&-2&0\\
1&0&0&0&-1&0&0\\
4&4&4&-12&-4&-4&-1\\
0&1&0&-2&0&0&0\\
0&0&2&0&0&0&-2\\
0&1&1&-3&-1&-1&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6\\
x_7
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
将矩阵$\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&-2&0\\
1&0&0&0&-1&0&0\\
4&4&4&-12&-4&-4&-1\\
0&1&0&-2&0&0&0\\
0&0&2&0&0&0&-2\\
0&1&1&-3&-1&-1&0
\end{bmatrix}$进行初等行变换,直到成为行最简型$
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&-2&0\\
0&1&1&-3&-1&-1&0\\
0&0&-1&1&1&1&0\\
0&0&0&2&2&2&-2\\
0&0&0&0&-1&2&0\\
0&0&0&0&0&8&-1
\end{bmatrix}
$.因此
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&-2&0\\
0&1&1&-3&-1&-1&0\\
0&0&-1&1&1&1&0\\
0&0&0&2&2&2&-2\\
0&0&0&0&-1&2&0\\
0&0&0&0&0&8&-1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6\\
x_7
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}.
$$
可得$x_1=2,x_2=10,x_3=8,x_4=5,x_5=2,x_6=1,x_7=8$是一组解,其它所有的正整数解都是这组解的倍数.因此该化学方程式可配平为
$$
2KMnO_{4}+10FeSO_{4}+8H_{2}SO_{4}=5Fe_{2}(SO_{4})_{3}+2MnSO_{4}+K_{2}SO_{4}+8H_{2}O
$$

由矩阵的奇异值分解可知,任意秩为$r$的$m\times n$实矩阵$A$都可以分解
成$UDV^{T}$的形式,其中$U$是$m\times m$正交阵,$V$是$n\times n$正交阵,$D$是形如
$$
\begin{pmatrix}
\Sigma&\mathbf{O}\\
\mathbf{O}&\mathbf{O}
\end{pmatrix}
$$
的矩阵,且
$$
\Sigma=
\begin{pmatrix}
\sigma_1&~&~&~\\
~&\sigma_2&~&~\\
~&~&\ddots&~\\
~&~&~&\sigma_{r}
\end{pmatrix}
$$
下面我们求矩阵$A$的Moore-Penrose广义逆所具有的表达式.

设$\mathbf{x}\in \mathbf{R}^{n}$,$\mathbf{b}\in \mathbf{R}^{m}$.则线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$可能是相容的,也可能是不相容的.

设向量$\mathbf{b}$在$A$的列空间上的射影向量为$\overline{\mathbf{b}}$,先求$\overline{\mathbf{b}}$的表达式.矩阵$A$的列空间和矩阵$UD$的列空间是一致的,而矩阵$UD$的列空间是由矩阵$U$的前$r$个列向量张成的.因此矩阵$A$的列空间是由矩阵$U$的前$r$个列向量张成的.只保留矩阵$U$的前$r$个列向量,得到矩阵$\overline{U}$.则
$$
\overline{\mathbf{b}}=\overline{U}(\overline{U})^{T}\mathbf{b}.
$$
虽然$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$可能无解,但是$A\mathbf{x}=\overline{\mathbf{b}}$一定有解.即方程组
$$
A\mathbf{x}=\overline{U}(\overline{U})^T\mathbf{b}
$$
必定有解.即方程组
$$
UDV^T\mathbf{x}=\overline{U}(\overline{U})^T\mathbf{b}
$$
必定有解.

而且,矩阵$U$和矩阵$\overline{U}$具有关系:
$$
\overline{U}=UI_{m,r},
$$
其中矩阵$I_{m,r}$是$m\times r$矩阵,且对于任意的$1\leq i\leq r$,矩阵$I_{m,r}$的第$i$行第$i$列元素为$1$,其余元素都为$0$.

因此,
$$
UDV^T\mathbf{x}=\overline{U}(\overline{U})^T\mathbf{b}=UI_{m,r}I_{m,r}^TU^{T}\mathbf{b},
$$

\begin{equation}\label{eq:1}
DV^{T}\mathbf{x}=I_{m,r}I_{m,r}^TU^T\mathbf{b}.
\end{equation}

然后将解$\mathbf{x}$投影到矩阵$A$的行空间上:

设向量$\mathbf{x}$在$A$的行空间上的射影向量为$\overline{\mathbf{x}}$.下面来求$\overline{\mathbf{x}}$的表达式.首先,矩阵$A$的行空间等于矩阵$A^T$的列空间.由$A^{T}=VD^TU^T$可知,矩阵$A^T$的列空间由矩阵$V$的前$r$个列向量张成.因此矩阵$A$的行空间由矩阵$V$的前$r$个列向量张成.所以向量$\mathbf{x}$在矩阵$A$的行空间上的射影向量$\overline{\mathbf{x}}=\overline{V}(\overline{V})^{T}\mathbf{x}$.

矩阵$V$和矩阵$\overline{V}$的关系是$\overline{V}=VI_{n,r}$,其中矩阵$I_{n,r}$是$n\times r$矩阵,且对于任意的$1\leq i\leq r$,矩阵$I_{n,r}$的第$i$行第$i$列元素为$1$,其余元素都为$0$.

因此,
$$
\overline{\mathbf{x}}=\overline{V}(\overline{V})^T\mathbf{x}=VI_{n,r}I_{n,r}^TV^T\mathbf{x},
$$

\begin{equation}\label{eq:2}
V^T\overline{\mathbf{x}}=I_{n,r}I_{n,r}^TV^T\mathbf{x}.
\end{equation}
在方程\eqref{eq:1}两边同时乘上$n\times m$矩阵$D^{+}$,其中矩阵
$$
D^{+}=
\begin{pmatrix}
\Sigma^{-1}&\mathbf{O}\\
\mathbf{O}&\mathbf{O}
\end{pmatrix}
$$
可得
\begin{equation}\label{eq:3}
I_{n,r}I_{n,r}^TV^T\mathbf{x}=D^{+}U^T\mathbf{b}.
\end{equation}
将方程\eqref{eq:2}代入方程\eqref{eq:3}可得
$$
V^T\overline{\mathbf{x}}=D^{+}U^{T}\mathbf{b},
$$

$$
\overline{\mathbf{x}}=VD^{+}U^{T}\mathbf{b}.
$$
所以矩阵$A$的Moore-Penrose广义逆是$VD^{+}U^{T}$.

注意:文章有一个例外需要分开来讨论,即$D$是零矩阵时,$\Sigma^{-1}$是不存在的.但是文章最终的结论:$A$的M-P广义逆是$VD^+U^T$照样成立.

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这篇文章写于2017年10月6日,现在我重新整理在此.

如图1所示,在三棱锥$S-ABC$中,二面角$C-SA-B$,$A-SB-C $,$B-SC-A$的平面角分别记为$\alpha$,$\beta$,$\gamma$.下面我们证明,$540^{\circ}>\alpha+\beta+\gamma>180^{\circ}$.

图1

证明:如图2所示,过三棱锥内部一点$P$作三个侧面$SAB$,$SBC$,$SCA$的垂线,垂足分别记为$D,E,F$,且垂足都落在相应侧面的内部.满足如上条件的点$P$必然存在,三棱锥内切球的球心就是一个例子.

过点$D$作棱$SA$的垂线,垂足记为$G$.再连接$GF$.

因为$SA$与相交的两条直线$PD,DG$都垂直,

所以$SA$垂直于平面$PDG$,

所以$SA$垂直于直线$PG$.

又因为$SA$垂直于直线$PF$,直线$PG,PF$也相交,

所以$SA$垂直于平面$PFG$,

所以$SA$垂直于直线$GF$.

可见,$SA$与直线$GD,GF$都垂直.因此$\angle DGF$是二面角$C-SA-B$的平面角.

图2

同理,过点$E$作棱$SB$的垂线,垂足记为$H$.再连接$DH$.$\angle EHD$是二面角$A-SB-C$的平面角.过点$F$作棱$SC$的垂线,垂足记为$I$.再连接$EI$.$\angle FIE$是二面角$B-SC-A$的平面角.

直线$PD,PE,PF$不可能共面,否则,假设这三条直线共面于平面$\phi$,则平面$PDGF,PEHD,PFIE$都是平面$\phi$.则直线$SA,SB,SC$都垂直于平面$\phi$,因此直线$SA,SB,SC$互相平行或互相重合,这与$SA,SB,SC$只交于点$S$矛盾.

下面证明,对于不共面的直线$PD,PE,PF$来说,有
\begin{equation}\label{eq:1}
\angle DPF+\angle EPD+\angle FPE<360^{\circ}.
\end{equation}

图3

如图3所示,反向延长射线$PE$,在反向延长线上取点$G$.则由三面角两个面角之和大于第三个面角,可得
$$
\angle FPD < \angle FPG+\angle DPG, $$ 即 $$ \angle FPD < (180^{\circ}-\angle FPE)+(180^{\circ}-\angle DPE), $$ 即 $$ \angle FPD+\angle FPE+\angle DPE < 360^{\circ}. $$ 这样就证明了不等式\eqref{eq:1}.由于$\angle DPF+\angle DGF=180^{\circ} $ ,$\angle EPD+\angle EHD=180^{\circ}$ ,$\angle FPE+\angle FIE=180^{\circ} $ .因此 \begin{align*} \angle DGF+\angle EHD+\angle FIE&=540^{\circ}-(\angle DPF+\angle EPD+\angle FPE)\\& > 540^{\circ}-360^{\circ}=180^{\circ}.
\end{align*}
这样,我们就证明了任意三棱锥的三个侧面形成的三个二面角的和始终大于$180^{\circ}$.且由于$\angle DPF+\angle EPD+\angle FPE>0$,因此
 $\angle DGF+\angle EHD+\angle FIE<540^{\circ}$,即任意三棱锥的三个侧面形成的三个二面角的和始终小于$540^{\circ}$.

这篇博文原本写于2017年11月4日,现重新发布在此.在这篇博文里,我们证明,三面角的任意两个面角之和大于第三个面角.

设有不共面的三条射线$PD,PE,PF$形成以$P$为顶点的三面角.

(1) 当三面角至少有两个面角是锐角时,只用证明这两个锐角之和大于剩下的那个面角即可.不妨设$\angle DPE,\angle FPE$是锐角.在这种情况下,过点$E$作平面$PDF$的垂线,设垂足为$E’$.$E’$不会与点$P$重合,否则$\angle DPE=\angle FPE=90^{\circ}$,矛盾.

图1

当点$E’$不在射线$PD,PF$上时,过点$E’$分别作直线$PD,PF$的垂线,垂足依次记为$M,N$.因为$EE’\perp\mbox{平面}PDF$,所以$EE’\perp PD$.
$$
\begin{cases}
PD\perp EE’\\
PD\perp E’M\\
EE’\cap E’M=E’
\end{cases}\Rightarrow{PD}\perp\mbox{面}EE’M\Rightarrow{PD}\perp EM.
$$
由于$PD\perp EM$,且$\angle DPE$是锐角,因此点$M$位于射线$PD$上.同理,点$N$位于射线$PF$上.且点$M$不与点$P$重合,否则$\angle DPE=90^{\circ}$.同理,点$N$不与点$P$重合.如图1所示.此时,且$E’$只能位于射线$PD$和$PF$夹成的区域内,即,存在正实数$x,y$,使得$\overrightarrow{PE’}=x\overrightarrow{PD}+y\overrightarrow{PF}$. $$
\cos\angle DPE=\cos\angle MPE=\frac{PM}{PE}<\frac{PM}{PE’}=\cos\angle MPE’=\cos\angle DPE’. $$ 因此$\angle DPE>\angle DPE’$.同理,$\angle FPE>\angle FPE’$.因此,
\begin{equation}
\label{eq:1}
\angle DPE+\angle FPE>\angle DPE’+\angle FPE’=\angle FPD.
\end{equation}
当点$E’$在射线$PF$上时,只用过点$E’$作$PD$的垂线,设垂足为$M$.再重复刚才的论证可得$\angle DPE>\angle DPE’=\angle DPF$.因此自然也有不等式\eqref{eq:1}成立.同理,当点$E’$在射线$PD$上时,不等式\eqref{eq:1}也成立.综上,当$\angle DPE,\angle EPF,\angle FPD$中至少有两个是锐角时,不等式\eqref{eq:1}成立.

(2) 当三面角三个面角都不是锐角时,任意两个面角之和达到或超过了平角,因此自然会大于剩下的那个面角.

图2

(3) 当三面角有两个面角都不是锐角,一个面角是锐角时,不妨设$\angle DPE,\angle FPE$不是锐角,$\angle DPF$是锐角.此时,反向延长射线$PE$,在射线$PE$的反向延长线上取点$G$.如图2所示.则射线$PG,PD,PF$形成的三面角的三个面角中,或者至少有两个面角是锐角,或者有两个面角是直角.在后面这种情况中,显然其中两个面角之和大于剩下的面角,而在前面这种情况中,
$$
\angle DPG+\angle DPF>\angle FPG,
$$

$$
(180^{\circ}-\angle DPE)+\angle DPF>180^{\circ}-\angle EPF,
$$

$$
\angle EPF+\angle DPF>\angle DPE.
$$
同理可得
$$
\angle DPE+\angle DPF>\angle EPF.
$$

综上所述,对于所有三面角来说,它的任意两个面角之和都大于剩下的面角.