十一月 2018

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下面我们解几道关于离散动力系统的应用题,以及其它题目.这些题目来自Gilbert Strang的《线性代数及其应用》第三版第5.3节.

(练习5.3.3)Bernadelli研究这一类甲虫,“它只能活3年,而且在第3年繁殖”.如果年龄一岁的组以$\frac{1}{2}$的概率存活,两岁的组以$\frac{1}{3}$概率存活,而$3$岁的甲虫生6个雌虫后死去,相应的矩阵为
$$
A=
\begin{bmatrix}
0&0&6\\
\frac{1}{2}&0&0\\
0&\frac{1}{3}&0
\end{bmatrix}.
$$
证明$A^3=I$.若开始时每组有3000个甲虫,求6年的甲虫分布.

解:
设矩阵$A$的特征值为$\lambda$.则
$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&0&6\\
\frac{1}{2}&-\lambda&0\\
0&\frac{1}{3}&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$
解得$\lambda_{1}=1,\lambda_2=e^{\frac{-\pi}{3}i},\lambda_3=e^{\frac{2\pi}{3}i}$.可得$\lambda_{1}^3=\lambda_{2}^{3}=\lambda_{3}^{3}=1$.因此$A^3=I$.若开始时每组有$3000$只甲虫,则$6$年后每组还是有$3000$只甲虫.


(练习5.3.4)假设有三个大型运货卡车中心.每个月中,在波士顿和在洛杉矶的卡车的一半开往芝加哥,而其余一半留在原地.而在芝加哥的卡车分成相等的两半分别去波士顿和洛杉矶.给出$3\times 3$转移矩阵并求相应于特征值$1$的稳定状态.

解:设在第$n$个月,波士顿有$x_n$辆卡车,洛杉矶有$y_n$辆卡车,芝加哥有$z_n$辆卡车.则
$$
\begin{bmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}\\
z_{n+1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_n\\
y_n\\
z_n
\end{bmatrix}
$$
所以转移矩阵为
$$
A=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0
\end{bmatrix},
$$
可求得矩阵$A$的特征值为$-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1$.对应于特征值$1$的某个特征向量为$
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{bmatrix}.
$所以对应于特征值$1$的稳定状态是:三个城市的货车一样多.


(练习5.3.5)假定有一种传染病,在每个月内,健康人的一半会染上病,而病人的$\frac{1}{4}$会死亡.求相应Markov过程的稳定状态.
$$
\begin{bmatrix}
d_{k+1}\\
s_{k+1}\\
w_{k+1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1&\frac{1}{4}&0\\
0&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\
0&0&\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_k\\
s_k\\
w_k
\end{bmatrix}.
$$


解:显然,转移矩阵的特征值为$1,\frac{3}{4},\frac{1}{2}$.特征值$1$对应的某个特征向量为$
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}
$.即人全死光为稳定状态.

(练习5.3.8)对方程组$V_{n+1}=\alpha(V_n+W_n)$和$W_{n+1}=\alpha(V_n+W_n)$,什么样的$\alpha$值产生不稳定性?



$$
\begin{pmatrix}
V_{n+1}\\
W_{n+1}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\alpha&\alpha\\
\alpha&\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_n\\
W_n
\end{pmatrix}.
$$
矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
\alpha&\alpha\\
\alpha&\alpha
\end{pmatrix}
$$
的特征值为$0,2\alpha$.当$\alpha>\frac{1}{2}$时,产生不稳定性.


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正确总是相似的,错则有各种错法。


高一7班王榕荣
高一7班陈一豪
高一7班陈蕴涵
高一7班应亚茹
高一7班杨宇飞
高一10班戚恬如
高一10班李若琳
高一7班宋宋
高一7班吴依文
高一10班吴森帆

设$T$是从$\mathbf{R}^n$到$\mathbf{R}^n(n\geq 2)$的可逆线性变换.在这篇文章里,我们主要使用数学归纳法说明,必定存在$n$个两两互相正交的向量,这些向量在线性映射$T$的作用下,形成的$n$个向量依然是两两互相正交的.这样就直接地说明了任意$n\times n$可逆矩阵都存在相应的奇异值分解(SVD).

当$n=2$时,我们已经在博文直观理解SVD:二维情形里证明了命题成立.

假设在$n-1(n-1\geq 2)$的情形下命题也成立.

由博文直观理解SVD:二维情形,必定存在$\mathbf{R}^{n}$中的两个互相正交的单位向量$\mathbf{q}_1$和$\mathbf{q}_2$,使得向量$T(\mathbf{q}_1)$和$T(\mathbf{q}_2)$为正交向量.

设向量$\mathbf{q}_1$张成一维线性空间$Q_1$,向量$\mathbf{q}_2$张成一维线性空间$Q_2$.记$Q_1$在$\mathbf{R}^n$中的正交补为$Q_1^{\perp}$,$Q_2$在$\mathbf{R}^n$中的正交补为$Q_2^{\perp}$.

其实$Q_1^{\perp}$和$Q_2^{\perp}$都是$\mathbf{R}^n$中的$n-1$维线性空间.且$Q_1^{\perp}\cap Q_2^{\perp}$是$\mathbf{R}^n$中的$n-2$维子空间.

记$Q_1^{\perp},Q_2^{\perp}$在线性映射$T$的作用下分别形成$\mathbf{R}^n$中的$n-1$维子空间$T(Q_1^{\perp})$和$T(Q_2^{\perp})$.则$T(Q_1^{\perp}),T(Q_2^{\perp})$在$\mathbf{R}^n$中的正交补依次为一维线性空间$T(Q_1)$和$T(Q_2)$.且$T(Q_1)$和$T(Q_2)$的一组基底分别为$T(\mathbf{q}_1)$和$T(\mathbf{q}_2)$.

由归纳假设,存在$Q_1^{\perp}$中的$n-1$个互相正交的单位向量$\mathbf{p}_1,\cdots,\mathbf{p}_{n-1}$,使得$T(\mathbf{p}_1),\cdots,T(\mathbf{p}_{n-1})$依然互相正交.向量$T(\mathbf{p}_1),\cdots,T(\mathbf{p}_{n-1})$其实属于空间$T(Q_1^{\perp})$.

综上,存在$\mathbf{R}^n$中的$n$个两两互相正交的向量$\mathbf{q}_{1},\mathbf{p}_1,\cdots,\mathbf{p}_{n-1}$,使得$T(\mathbf{q}_1),T(\mathbf{p}_1),\cdots,T(\mathbf{q}_{n-1})$依然是两两互相正交的.这样就给予$n$阶可逆矩阵的奇异值分解(SVD)一个直观的解释.

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设$T$是从$\mathbf{R}^3$到$\mathbf{R}^3$的可逆线性变换.$W$是$\mathbf{R}^3$的一个二维子空间.由博文直观理解SVD:二维情形,必定存在$W$中的两个互相正交的单位向量$\mathbf{q}_1$和$\mathbf{q}_2$,使得向量$T(\mathbf{q}_1)$和$T(\mathbf{q}_2)$为正交向量.

设向量$\mathbf{q}_1$张成一维线性空间$Q_1$,向量$\mathbf{q}_2$张成一维线 性空间$Q_2$.则在直观上,$Q_{1},Q_{2}$是三维空间中互相垂直的直线.记$Q_1$在$\mathbf{R}^3$中的正交补为$Q_1^{\perp}$,$Q_2$在$\mathbf{R}^3$中的正交补为$Q_2^{\perp}$.

其实$Q_1^{\perp}$和$Q_2^{\perp}$都是$\mathbf{R}^3$中的二维线性空间.且$Q_1^{\perp}\cap Q_2^{\perp}$是$\mathbf{R}^3$的一维子空间.形象地说,$Q_1^{\perp}$和$Q_2^{\perp}$是三维空间中两个互相垂直的平面.

记$Q_1^{\perp},Q_2^{\perp}$在线性映射$T$的作用下分别形成$\mathbf{R}^3$中的二维子空间$T(Q_1^{\perp})$和$T(Q_2^{\perp})$.则$T(Q_1^{\perp}),T(Q_2^{\perp})$在$\mathbf{R}^3$中的正交补依次为一维线性空间$T(Q_1)$和$T(Q_2)$.且$T(Q_1)$和$T(Q_2)$的一组基底分别为$T(\mathbf{q}_1)$和$T(\mathbf{q}_2)$.

由博文直观理解SVD:二维情形 ,必定存在$Q_1^{\perp}$中的两个互相正交的单位向量$\mathbf{p}_1$和$\mathbf{p}_2$,使得$T(\mathbf{p}_1)$和$T(\mathbf{p}_2)$依然互相正交.向量$T(\mathbf{p}_1)$和$T(\mathbf{p}_2)$其实属于空间$T(Q_1^{\perp})$.

综上,存在$\mathbf{R}^3$中的三个两两互相正交的向量$\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{q}_1$,使得$T(\mathbf{p}_1),T(\mathbf{p}_2),T(\mathbf{q}_1)$依然是互相正交的.这样就给予三阶可逆矩阵的奇异值分解(SVD)一个直观的解释.

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2018年浙江高考数学第21题如下:

(2018年浙江高考数学第21题)如图,已知点$P$ 是$y$ 轴左侧(不含$y$ 轴)一点,抛物线$:y^2=4x$ 上存在不同的两点$A,B$ 满足$PA,PB$ 的中点均在$C$ 上.

(I)设 $AB$的中点为$M$ ,证明: $PM$垂直于$y$ 轴;

(II)若点$P$ 是半椭圆$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x<0)$ 上的动点,求$\triangle PAB$面积的取值范围.

(2018年浙江高考第21题图)

下面将该题中的结论推广到椭圆和双曲线.对于椭圆,我是以编题的方式呈现出结论的,这道自编题被我放在了2018年高中命题竞赛中.

如图,已知点$P$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$外一点.椭圆$C$ 上存在不同的两点$A,B$ 满足$PA,PB$ 的中点均在$C$ 上.设$AB$ 中点为$M$ .

I若点$M$ 的坐标为$(1,\frac{1}{2})$ ,求直线$AB$ 的方程;

II证明: $P,M,O$三点共线( $O$为坐标原点).

对于双曲线也有类似结论:

如图,已知点$P$是坐标平面内的任意一点.双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上存在不同的两点$A,B$满足$PA,PB$的中点均在$C$上.设$AB$中点为$M$,则$P,M,O$三点共线($O$为坐标原点).

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设$T$是从$\mathbf{R}^2$到$\mathbf{R}^2$的可逆线性变换.
$$(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)=\left( \begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix}\right) $$ 是$\mathbf{R}^2$的一组单位正交基底.则$(T(\mathbf{q}_1),T(\mathbf{q}_2))$也是$\mathbf{R}^2$的一组基底,但未必 是正交基底.设向量$T(\mathbf{q}_1)$和向量$T(\mathbf{q}_2)$的夹角为$\theta$.

(1)如果$\theta=\frac{\pi}{2}$,则$(T(\mathbf{q}_{1}),T(\mathbf{q}_{2}))$已经是$\mathbf{R}^2$ 的一组正交基底.

(2)如果$\theta<\frac{\pi}{2}$(或$\theta>\frac{\pi}{2}$)则考虑单位正交基底 $(\mathbf{q}_2,-\mathbf{q}_1)$.向量$T(\mathbf{q}_2)$与向量 $T(-\mathbf{q}_1)=-T(\mathbf{q}_1)$的夹角必定为$\pi-\theta$, 这是一个钝(锐)角.设向量 $$ \mathbf{p}_{1,t}=
\begin{bmatrix}
\cos t&-\sin t\\
\sin t&\cos t
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{bmatrix},\mathbf{p}_{2,t}= \begin{bmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix}, t\in [0,\frac{\pi}{2}]. $$ 则$(\mathbf{p}_{1,t},\mathbf{p}_{2,t})$也是$\mathbf{R}^2$的一组正交基底,当$t$ 从$0$连续变化到$\frac{\pi}{2}$时,基底$(\mathbf{p}_{1,t},\mathbf{p}_{2,t})$从 $(\mathbf{q}_{1},\mathbf{q}_{2})$连续变化到 $(\mathbf{q}_2,-\mathbf{q}_1)$.因此,当$t$从$0$连续变化到 $\frac{\pi}{2}$时,基底 $(T(\mathbf{\mathbf{p}}_{1,t}),T(\mathbf{p}_{2,t}))$从$(T(\mathbf{q}_1),T(\mathbf{q}_{2}))$连续变化到$(T(\mathbf{q}_2),-T(\mathbf{q}_1))$,于是基底$(T(\mathbf{\mathbf{p}}_{1,t}),T(\mathbf{p}_{2,t}))$中两个基向量的夹角 从$\theta$连续变化到$\pi-\theta$.由连续函数的介值定理,必定存在$t_0\in [0,\frac{\pi}{2}]$,使得基底 $(T(\mathbf{\mathbf{p}}_{1,t_{0}}),T(\mathbf{p}_{2,t{0}}))$中两个基向量的夹角为$\frac{\pi}{2}$.于是,线性变换$T$将$\mathbf{R}^2$的一组单位正交基底$(\mathbf{p}_{1,t{0}},\mathbf{p}_{2,t{0}})$映射为一组正交基底$(T(\mathbf{\mathbf{p}}_{1,t{0}}),T(\mathbf{p}_{2,t{0}}))$.


可见,无论是哪种情况,必定存在$\mathbf{R}^2$的一组单位正交基底$\alpha$和一组正交基底$\beta$,使得$\alpha$中的两个基向量在线性映射$T$的作用下变成$\beta$中的两个基向量.这样就在二维情形直观地说明了任意的$2\times 2$可逆矩阵必定存在奇异值分解(SVD).至于在高维情形以及不可逆矩阵的情形,我将在后续博文中讨论.

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众所周知,由抛物线的准线定义,若$l$为平面上一定直线,$A$为直线$l$外一定点,则到直线$l$和点$A$距离相等的点形成的轨迹为抛物线.直线$l$称为抛物线的准线.


设$P$是抛物线上的任意一个定点,$Q$是抛物线上的动点,且相对于点$P$,点$Q$距准线$l$更远.过点$P,Q$分别作准线$l$的垂线,垂足依次为$P’,Q’$.再过点$P$作线段$Q’Q$的垂线,垂足为$R$.因为
$$
|QA|=|QQ’|>|PP’|=|PA|,
$$
所以可以在线段$QA$上取一点$S$,使得$|SA|=|PA|$.则
$$
|QR|=|QQ’|-|RQ’|=|QA|-|PP’|=|QA|-|PA|=|QA|-|SA|=|QS|.
$$
当点$Q$越来越接近点$P$时,等腰三角形$PAS$的顶角越来越接近$0^{\circ}$,因此$\angle QSP$越来越接近$90^{\circ}$.因此,$\cos \angle PQS$越来越接近于$$\frac{|QS|}{|QP|}=\frac{|QR|}{|QP|}=\cos \angle PQR.$$于是,$\angle PQS$越来越接近$\angle PQR$,即直线$PQ$越来越接近成为$\angle Q’QA$的角平分线.在极限情形,直线$PQ$成了抛物线在点$P$处的切线.可得到如下结论:


设直线$l$是抛物线在点$P$处的切线,则直线$l$是$\angle P’PA$的角平分线.


该结论其实就是抛物线的光学性质.至于是否可以类似地从椭圆和双曲线的准线定义出发,直接推出椭圆和双曲线的光学性质,我将放在稍后研究.