2018年浙江高考解析几何题的推广

2018年浙江高考数学第21题如下:

(2018年浙江高考数学第21题)如图,已知点$P$ 是$y$ 轴左侧(不含$y$ 轴)一点,抛物线$:y^2=4x$ 上存在不同的两点$A,B$ 满足$PA,PB$ 的中点均在$C$ 上.

(I)设 $AB$的中点为$M$ ,证明: $PM$垂直于$y$ 轴;

(II)若点$P$ 是半椭圆$x^2+\frac{y^2}{4}=1(x<0)$ 上的动点,求$\triangle PAB$面积的取值范围.

(2018年浙江高考第21题图)

下面将该题中的结论推广到椭圆和双曲线.对于椭圆,我是以编题的方式呈现出结论的,这道自编题被我放在了2018年高中命题竞赛中.

如图,已知点$P$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$外一点.椭圆$C$ 上存在不同的两点$A,B$ 满足$PA,PB$ 的中点均在$C$ 上.设$AB$ 中点为$M$ .

I若点$M$ 的坐标为$(1,\frac{1}{2})$ ,求直线$AB$ 的方程;

II证明: $P,M,O$三点共线( $O$为坐标原点).

对于双曲线也有类似结论:

如图,已知点$P$是坐标平面内的任意一点.双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上存在不同的两点$A,B$满足$PA,PB$的中点均在$C$上.设$AB$中点为$M$,则$P,M,O$三点共线($O$为坐标原点).

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