十二月 2018

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在这里,我们求一个对称循环矩阵的特征值.同样的方法可以推广到一般情形,不再赘述.

问题 1. 求对称循环矩阵$A=
\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0\\
0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0\\
0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}&0
\end{pmatrix}
$的特征值.

设矩阵
$$
P=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0
\end{pmatrix},
$$
$$
Q=P^T=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}=P^4.
$$
矩阵
$$
A=\frac{P+Q}{2}.
$$
而由博文几个基本循环矩阵的特征值,矩阵$P$的特征值是
$$
\omega^0,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,
$$
其中$\omega=e^{\frac{2\pi}{5}i}$.对于矩阵$P$来说,$\forall 0\leq k\leq 4$,特征值$\omega^{k}$对应的特征向量为$
\bm{v}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{k}\\
\omega^{2k}\\
\omega^{3k}\\
\omega^{4k}
\end{pmatrix}.
$更详细地说,对于矩阵$P$,特征值$1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4$对
应的特征向量依次为
$$
\bm{v}_0=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega\\
\omega^2\\
\omega^3\\
\omega^4
\end{pmatrix},\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{2}\\
\omega^4\\
\omega\\
\omega^3
\end{pmatrix},\bm{v}_3=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^3\\
\omega\\
\omega^{4}\\
\omega^2
\end{pmatrix},\bm{v}_4=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^4\\
\omega^3\\
\omega^2\\
\omega
\end{pmatrix}.
$$
矩阵$Q$的特征值是
$$
\omega^{0},\omega^4,\omega^3,\omega^2,\omega,
$$
对于矩阵$Q$来说,$\forall 0\leq k\leq 4$,特征值$\omega^k$对应的特征向量为$\bm{v}_k’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{4k}\\
\omega^{3k}\\
\omega^{2k}\\
\omega^{k}
\end{pmatrix}$.更详细地说,对于矩阵$Q$,特征值$1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^{4}$对应的特征向量依次为
$$
\bm{v}_0’=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},\bm{v}_1’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{4}\\
\omega^3\\
\omega^2\\
\omega
\end{pmatrix},\bm{v}_2’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^3\\
\omega\\
\omega^4\\
\omega^2
\end{pmatrix},\bm{v}_3’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^2\\
\omega^4\\
\omega\\
\omega^3
\end{pmatrix},\bm{v}_4’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega\\
\omega^2\\
\omega^3\\
\omega^4
\end{pmatrix}.
$$
于是,$\forall 0\leq k\leq 4$,
\begin{align*}
A(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)&=\frac{P(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)+Q(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)}{2}
\\&=\frac{P(\bm{v}_k)+P(\bm{v}_k’)+Q(\bm{v}_k)+Q(\bm{v}_k’)}{2}
\\&=\frac{\omega^{k}\bm{v}_k+\omega^{5-k}\bm{v}_k’+\omega^{5-k}\bm{v}_k+\omega^{k}\bm{v}_k’}{2}
\\&=\frac{\omega^{k}+\omega^{5-k}}{2}(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)
\\&=\cos \frac{2k\pi}{5}
\begin{pmatrix}
2\\
2\cos \frac{2k\pi}{5}\\
2\cos \frac{4k\pi}{5}\\
2\cos \frac{6k\pi}{5}\\
2\cos \frac{8k\pi}{5}
\end{pmatrix}
\end{align*}
所以矩阵$A$的特征值是$\frac{\omega^k+\omega^{5-k}}{2}$,即
$$
1,\cos \frac{2\pi}{5},\cos \frac{4\pi}{5},\cos \frac{6\pi}{5},\cos \frac{8\pi}{5},
$$
对于矩阵$A$来说,这些特征值对应的特征向量依次是
$$
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}
\end{pmatrix}.
$$

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在这里,我们计算若干简单的循环矩阵的特征值以及这些特征值对应的特征向量.

问题 1. $A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$.

设矩阵$A$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&1\\
1&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$
解得$\lambda_1=1$,$\lambda_2=-1$.特征值$1$对应的特征向量是$
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
$,特征值$-1$对应的特征向量是$
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
$.
问题 2. $A=
\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{bmatrix}
$.

设矩阵$A$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&1&0\\
0&-\lambda&1\\
1&0&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$

$$
\lambda^3-1=0,
$$
解得$\lambda_1=1$,$\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{3}i}$,$\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{3}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_2\\
\lambda_2^2
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应的特征成立$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_3\\
\lambda_3^{2}
\end{bmatrix}.
$
问题 3. $A’=
\begin{bmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{bmatrix}
$.

设矩阵$A’$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A’-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&0&1\\
1&-\lambda&0\\
0&1&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$
解得$\lambda_1=1,\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{3}i},\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{3}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_2\\
\lambda_2^2
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应的特征向量$\bm{v}_3=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_3\\
\lambda_3^2
\end{pmatrix}.
$
注记 1. 让我们观察问题2和问题3的关系.事实上,
$$
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{pmatrix}^2=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix},
$$
因此问题3中矩阵的特征值是问题2中矩阵特征值的平方.而特征值
$$
1,e^{\frac{2\pi}{3}i},e^{\frac{4\pi}{3}i}
$$
的平方依次是
$$
1,e^{\frac{4\pi}{3}i},e^{\frac{2\pi}{3}i}.
$$
这解释了为什么问题3中矩阵的特征值依旧和例2中矩阵的特征值相同.

问题 4. 下面我们来求矩阵
$$
A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}
$$
的特征值和特征向量,其中$\forall 1\leq i\leq n-1$,$a_{i,i+1}=1$,且$a_{6,1}=1$,而其余元素都是$0$.

设矩阵$A$的特征值为$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
(-\lambda)^n+(-1)^{n-1}=0,
$$

$$
\lambda^n-1=0.
$$
解得
$\lambda_1=1,\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{n}i}$,$\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{n}i}$,$\cdots$,$\lambda_k=e^{\frac{2\pi(k-1)}{n}i}$,$\cdots$,$\lambda_n=e^{\frac{2\pi (n-1)}{n}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2\\
\vdots\\
\lambda_1^{n-1}
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_{2}\\
\lambda_2^{2}\\
\vdots\\
\lambda_2^{n-1}
\end{pmatrix},\cdots,
$特征值$\lambda_n$对应的特征向量$\bm{v}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_{n}\\
\lambda_n^2\\
\vdots\\
\lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}.
$
问题 5. 对于矩阵
$$
A’=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}
$$
其中
$b_{1,m}=b_{2,m+1}=\cdots=b_{n-m+1,n}=1$,$b_{n-m+2,1}=b_{n-m+3,2}=\cdots=b_{n-m+k,k-1}=\cdots=b_{n,m-1}=1$.由

$$
A’=A^m,
$$
其中$A$是问题4中的矩阵.因此矩阵$A’$的特征值是
$$
\lambda_1’=\lambda_{1}^{m}=1,\lambda_2’=\lambda_{2}^{m}=e^{\frac{2m\pi}{n}i},\lambda_3’=\lambda_3^m=e^{\frac{4m\pi}{n}i},\cdots,\lambda_k’=\lambda_k^m=e^{\frac{2m\pi(k-1)}{n}i},\cdots,\lambda_n’=\lambda_n^m=e^{\frac{2m\pi(n-1)}{n}i}.
$$

$$
\lambda_1′,\lambda_2′,\cdots,\lambda_n’
$$
只不过是
$$
\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{n}
$$
的一个置换.因此矩阵$A’$的特征值和矩阵$A$的特征值相同.对于矩阵$A’$来说,特征值$\lambda_k’$所对应的特征向量是$
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_k’\\
\lambda_k’^2\\
\vdots\\
\lambda_k’^n
\end{pmatrix}.
$

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习题 1. 设$B$是$n\times n$对称矩阵且$B^2=B$,任何此类矩阵被称为投影矩阵(或一个正交投影矩阵).对任意给定的$\bm{y}\in\mathbf{R}^n$,$\bm{\hat{y}}=B\bm{y}$且$\bm{z}=\bm{y}-\bm{\hat{y}}$.
  • 证明$\bm{z}$与$\bm{\hat{y}}$正交.
  • 设$W$是$B$的列空间,证明$\bm{y}$是$W$中一个向量与空间$W^T$中一个向量之和.证明$B\bm{y}$是$\bm{y}$在$B$的列空间上的正交投影.

证明 .

  • $$
    \bm{z}^T\bm{\hat{y}}=(\bm{y-\hat{y}})^{T}\bm{\hat{y}}=\bm{y}^T\bm{\hat{y}}-\bm{\hat{y}}^T\bm{y}=\bm{y}^TB\bm{y}-\bm{y}^TB\bm{y}=\bm{0},
    $$
    故$\bm{z}$与$\bm{\hat{y}}$正交.
  • 首先,$\bm{y}-B\bm{y}$与向量$B\bm{y}$正交,且$B\bm{y}$属于矩阵$B$的列空间,因此$B\bm{y}$是$\bm{y}$在$B$的列空间上的投影.因此$\bm{y}-B\bm{y}\in W^T$.而
    $$
    \bm{y}=B\bm{y}+(\bm{y}-B\bm{y}),
    $$
    这就把$\bm{y}$表示成了$W$中的向量和$W^T$中的向量的和.

其实,$B=UDU^T$,其中对角矩阵$U$对角线上的元素只可能是$0$和$1$,$U$是正交矩阵.设
$$
D=\begin{bmatrix} \sigma_1&~&~&~\\ ~&\sigma_2&~&~\\ ~&~&&\ddots&~\\
~&~&~&~&\sigma_{n} \end{bmatrix},
$$
其中$\forall 1\leq i\leq n$,$\sigma_i=1$或$0$.设矩阵$U$的第$i$个列向量为$\bm{u}_i$.则
$$
B=\sigma_1\bm{u}_1\bm{u}_1^T+\sigma_2\bm{u}_2\bm{u}_2^T+\cdots+\sigma_n\bm{u}_n\bm{u}_n^T,
$$
因此
$$
B\bm{y}=\sigma_1\bm{u}_1\bm{u}_1^T\bm{y}+\sigma_2\bm{u}_2\bm{u}_2^T\bm{y}+\cdots+\sigma_n\bm{u}_n\bm{u}_{n}^T\bm{y}.
$$
而$\forall 1\leq i\leq n$,$\bm{u}_n\bm{u}_n^{T}\bm{y}$的意思是向量$\bm{y}$在单位向量$\bm{u}_n$上的投影向量.因此$B\bm{y}$即为向量$\bm{y}$在$B$的列空间上的正交投影.
习题 2. 求一个变量代换,$\bm{x}=P\bm{y}$,将二次型$x_1^2+10x_1x_2+x_2^2$变换为
没有交叉项的形式,给出$P$和新的二次型.

证明 . 令$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}
$,
$$
x_1^2+10x_1x_2+x_2^2=
\begin{bmatrix}
x_1&x_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&5\\
5&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}=\bm{x}^TA\bm{x},
$$
其中矩阵$A=
\begin{bmatrix}
1&5\\
5&1
\end{bmatrix}
$是二次型$x_1^2+10x_1x_2+x_2^2$的矩阵.将矩阵$A$正交对角化:
$$
A=UDU^T=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
6&0\\
0&-4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}^{T},
$$
然后令$\bm{y}=U^T\bm{x}=U^{-1}\bm{x}=
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_{2}
\end{bmatrix}
$,则
$$
x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=\bm{x}^TA\bm{x}=\bm{y}^TD\bm{y}=6y_1^2-4y_2^2.
$$
$P=U$.

习题 3. 证明:如果$B$是$m\times n$矩阵,那么$B^TB$是半正定的;如果$B$是$n\times n$可逆矩阵,那么$B^TB$是正定的.

证明 .
  • 当$B$是$m\times n$矩阵时,$B^TB$是$n\times n$矩阵.$\forall \bm{x}\in \mathbf{R}^n$,
    $$
    \bm{x}^TB^TB\bm{x}=(B\bm{x})^T(B\bm{x})\geq 0,
    $$
    因此$B^TB$是半正定矩阵.
  • 当$B$是$n\times n$可逆矩阵时,当$\bm{x}\in \mathbf{R}^n$且$\bm{x}\neq 0$时,由于$B\bm{x}\neq \bm{0}$,因此
    $$
    \bm{x}^TB^TB\bm{x}=(B\bm{x})^T(B\bm{x})>0,
    $$
    因此$B^TB$是正定矩阵.

习题 4. 证明:如果$n\times n$矩阵$A$是正定的,那么存在一个正定矩阵$B$,使得$A=B^TB$.

证明 . 矩阵$A$是正定的,表明矩阵$A$可以分解为
$$
A=UDU^T,
$$
其中矩阵$U$是$n\times n$正交矩阵,$D$是对角线元素都为正的对角矩阵.记
$$
D=\begin{bmatrix} \sigma_1&~&~&~\\ ~&\sigma_2&~&~\\ ~&~&&\ddots&~\\
~&~&~&~&\sigma_{n} \end{bmatrix},
$$
其中$\forall 1\leq i\leq n$,$\sigma_i>0$.记
$$
\sqrt{D}=\begin{bmatrix} \sqrt{\sigma_{1}}&~&~&~\\
~&\sqrt{\sigma_2}&~&~\\ ~&~&&\ddots&~\\
~&~&~&~&\sqrt{\sigma_n} \end{bmatrix},
$$

$$
A=U \sqrt{D} \sqrt{D}^TU^T=(U \sqrt{D}U^T)(U
\sqrt{D}^TU^T)=(U\sqrt{D}U^{T})(U\sqrt{D}U^{T})^T,
$$
然后令$B=(U\sqrt{D}U^{T})^T=U \sqrt{D}U^{T}$即可.

习题 5. 令$A$和$B$是$n\times n$对称矩阵且所有特征值都为正,证明$A+B$的特征值也
是正的.

证明 . 因为对称矩阵$A,B$的特征值都为正,所以$A,B$都是正定矩阵.所以$\forall \bm{x}\in \mathbf{R}^n$且$\bm{x}\neq\bm{0}$,
$$
\bm{x}^{T}(A+B)\bm{x}=\bm{x}^TA\bm{x}+\bm{x}^TB\bm{x}>0,
$$
所以$A+B$也是正定矩阵,它的特征值都是正的.

习题 6. 令$A$是$n\times n$可逆对称矩阵,证明,如果二次型$\bm{x}^TA\bm{x}$是正定的,那么二次型$\bm{x}^TA^{-1}\bm{x}$也是正定的.

证明 . 因为二次型$\bm{x}^TA\bm{x}$是正定的,所以矩阵$A$的特征值都是正数.设$A=UDU^T$,其中$U$是正交矩阵,而且对角矩阵$D$对角线上的元素都是正数.则$A^{-1}=U^TD^{-1}U$,其中对角矩阵$D^{-1}$的对角线上的元素也都是正数.因此$A^{-1}$是正定矩阵,于是$\bm{x}^TA^{-1}\bm{x}$是正定二次型.

习题 7. 下面的习题表明,当$A=
\begin{bmatrix}
a&b\\
b&d
\end{bmatrix}
$,$\det A\neq 0$时,不用求出$A$的特征值就可将二次型$Q(\bm{x})=\bm{x}^TA\bm{x}$分类. 如果$\lambda_1$和$\lambda_2$是$A$的特征值,那么$A$的特征多项式可以用两种方式写出:$\det (A-\lambda I)$和$(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$,
  • 利用这个结论说明$\lambda_1+\lambda_2=a+d$($a,d$是$A$的对角线上的元素),且$\lambda_1\lambda_2=\det A$.
  • 验证下列命题:(1)如果$\det A>0$且$a>0$,则$Q$是正定的.
    (2)如果$\det A>0$且$a<0$,则$Q$是负定的.

    (3)如果$\det A<0$,则$Q$是不定的.

证明 .
  • 直接使用韦达定理即可.
  • (1)因为$\det A=ad-b^2>0$,所以$ad>0$.又因为$a>0$,所以$d>0$.故
    $\lambda_1+\lambda_2=a+d>0$,且$\lambda_1\lambda_2=ad>0$.因此
    $\lambda_1,\lambda_2>0$,故$A$是正定矩阵,$Q$是正定二次型.
    (2)因为$\det A=ad-b^2>0$,所以$ad>0$.又因为$a<0$,所以$d<0$.故 $\lambda_1\lambda_2=ad>0$,且$\lambda_1+\lambda_2=a+d<0$,因此 $\lambda_1<0$且$\lambda_2<0$.因此$A$是负定矩阵,$Q$是负定二次线.

    (3)因为$\det A<0$,所以$\lambda_1$和$\lambda_2$一正一负,因此矩阵$A$是 不定矩阵,$Q$是不定二次型.

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矩阵的奇异值分解,任意秩为$r$的$m\times n$矩阵$A$都可以分解成如下形式:
$$
A=UDV^T,
$$
其中$U$是$m\times m$的正交矩阵,$V$是$n\times n$的正交矩阵,
$$
D=
\begin{bmatrix}
\bm{\Sigma}&\bm{O}\\
\bm{O}&\bm{O}
\end{bmatrix},
$$

$$
\bm{\Sigma}=
\begin{bmatrix}
\sigma_1&~&~&~\\
~&\sigma_2&~&~\\
~&~&&\ddots&~\\
~&~&~&~&\sigma_{r}
\end{bmatrix},
$$
$\forall 1\leq i\leq r$,$\sigma_i> 0$.

将矩阵$A$的奇异值分解变形如下:
$$
AV=UD,
$$
该式的意义非常鲜明.设正交矩阵$V$的第$i$个列向量为$\bm{v}_i$($1\leq i\leq r$),则向量$\bm{v}_i$经过矩阵$A$的作用,映射为向量$\sigma_{i}\bm{u}_i$,其中$\bm{u}_i$是矩阵$U$的第$i$个列向量.而 对于任意的$r_{j}$经过矩阵$A$的作用,映射为零向量.

矩阵$V$的前$r$个列向量形成矩阵$A$的行空间的基底,矩阵$U$的前$r$个列向量形成矩阵$A$的列空间的基底.

考虑矩阵$A$奇异值分解的转置
$$
A^T=VD^TU^T,
$$
该式可改写为
$$
A^TU=VD^T.
$$
该式的意义也非常鲜明.设正交矩阵$U$的第$i$个列向量为$\bm{u}_i(1\leq i\leq r)$,则向量$\bm{u}_{i}$经过矩阵$A^T$的作用,映射为向量$\sigma_i\bm{v}_i$,其中$\bm{v}_i$是矩阵$V$的第$i$个列向量.而对于任意的$r<j\leq m$,矩阵$U$的第$j$个列向量$\bm{u}_j$经过矩阵$A$的作用,映射为零向量.

由上面的分析,可作如下的映射图示:$\forall 1\leq i\leq r$,
$$
\bm{v}_i\stackrel{A}{\longrightarrow}\sigma_i\bm{u}_i\stackrel{A^{T}}{\longrightarrow}\sigma_i^2\bm{v}_i, $$ 即,$\forall 1\leq i\leq r$,向量$\bm{v}_{i}$在矩阵$A^TA$的作用下,会映射为向量$\sigma_i^2\bm{v}_i$.而当$j>r$时,向量$\bm{v}_j$在矩阵$A^TA$的作用下会映射为零向量.

这说明,如果忽略向量的伸长(包括反向伸长)作用,则对于向量$\bm{v}_{i}(\forall 1\leq i\leq r)$来说,矩阵$A$和矩阵$A^T$的作用效果是互逆的.这是对矩阵转置的一种直观理解.特别地,当$A$是对称矩阵时,$A=A^T$,说明对称矩阵$A$对$\bm{v}_i$的作用和矩阵$A$本身对$\bm{v}_i$的作用是互逆的,这只能说明,对于对称矩阵$A$来说,它的作用只能是伸长(或反向伸长)向量$\bm{v}_i$,这正是实对称矩阵的谱分解定理.这是对于对称矩阵的一种直观理解.

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设矩阵$A=
\begin{bmatrix}
1.7&0.6\\
-0.4&0.7
\end{bmatrix}
$,则矩阵$A$的特征值
$$
\lambda_1=1.1,\lambda_2=1.3.
$$
特征值$\lambda_1$对应的特征向量是$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
3\\
-2
\end{bmatrix}
$.

根据David C.Lay的《线性代数及其应用》第5.6节,动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的最大排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向以及其反方向,最小排斥方向是向量$\bm{v}_2$的方向和其反方向.

问题是,该怎么理解一个动力系统的最大排斥方向和最小排斥方向呢?毕竟在David C.Lay的教材内也没有给出一个明确的定义.

笔者在此,对离散动力系统的最大排斥方向和最小排斥方向给出一种很有诱惑力的,然而是错误的理解

设$|\bm{x}|=1$.若$\bm{x}$指示的方向与其反方向是动力系统的最大排斥方向,则$|A\bm{x}|$应为最大.若$\bm{x}$指示的方向与其反方向是动力系统的最小排斥方向,则$|A\bm{x}|$应为最小.

于是只用考虑下面的问题:

已知$|\bm{x}|=1$时,求当$\bm{x}$为何值时,$|A\bm{x}|$分别取最大值和最小值.

如果求出的$\bm{x}$分别为特征向量$\pm\frac{\bm{v}_1}{|\bm{v}_1|}$与$\pm\frac{\bm{v}_2}{|\bm{v}_2|}$,则表明我们对最大排斥方向的理解是正确的.(可惜下面的计算结果表明对最大和最小排斥方向的这种理解是错的).

易得
$$
|A\bm{x}|=\sqrt{\bm{x}^TA^TA\bm{x}},
$$
由于$A^TA$是对称矩阵,因此由谱分解定理,可以将$A^TA$谱分解:
\begin{align*}A^TA&=U^{T}DU\\&=
\begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}^{T}
\begin{bmatrix}
1.95-\sqrt{1.7576}&0\\
0&1.95+\sqrt{1.7576}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
\end{align*}
令$U\bm{x}=\bm{x}’$.且设$\bm{x}’=
\begin{bmatrix}
x’\\
y’
\end{bmatrix}
$.易得$|\bm{x}’|=1$.
$$
|A\bm{x}|=\sqrt{\bm{x}’^TD\bm{x}’}=(1.95-\sqrt{1.7576})x’^2+(1.95+\sqrt{1.7576})y’^2,
$$
当且仅当$x’=0,y’=\pm 1$时,$|A\bm{x}|$取得最大值;当且仅当$x’=\pm
1,y’=0$时,$|A\bm{x}|$取得最小值.

即,当且仅当$\bm{x}=\pm
\begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
$时,$|A\bm{x}|$取得最小值;当且仅当$\bm{x}=\pm
\begin{bmatrix}
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2 \sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
$时,$|A\bm{x}|$取得最大值.但是求出的$\bm{x}$的这些方向并非矩阵$A$的特征向量所指示的方向.这预示着我们对动力系统的最大和最小排斥方向的这种理解是错误的.

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习题 1. 设$2\times 2$矩阵$A$的特征值是$3$和$\frac{1}{3}$.对应的特征向量为$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
$和$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix}
$.$\{\bm{x}_k\}$是差分方程$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的解,$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
9\\
1
\end{bmatrix}
$.

  • 计算$\bm{x}_1=A\bm{x}_0$.
  • 求$\bm{x}_k$包含$k$和特征向量$\bm{v}_1$及$\bm{v}_2$的公式.


证明 .


  • $$
    \bm{x}_0=5\bm{v}_1-4\bm{v}_2,
    $$
    因此
    $$
    \bm{x}_1=A\bm{x}_0=A(5\bm{v}_1-4\bm{v}_2)=5A(\bm{v}_1)-4A(\bm{v}_2)=15\bm{v}_1-\frac{4}{3}\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    \frac{49}{3}\\
    \frac{41}{3}
    \end{bmatrix}.
    $$

  • $$
    x_k=A^k\bm{x}_0=A^k(5\bm{v}_1-4\bm{v}_2)=5A^k(\bm{v}_1)-4A^k(\bm{v}_2)=5\times
    3^k\bm{v}_1-4\times (\frac{1}{3})^k\bm{v}_2.
    $$


习题 2. 设矩阵$A$具有上题所描述的性质.

  • 原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子还是排斥子还是鞍点?
  • 求该动力系统的最大吸引方向或排斥方向.
  • 作该系统的几何描述.显示最大吸引方向或排斥方向,包括若干典型轨迹
    的草图(不用计算具体的点).


证明 .

  • 原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.
  • 该动力系统的最大排斥方向是$\bm{v}_1$的方向,最大的吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 事实上,矩阵
    $$
    A=
    \begin{bmatrix}
    1&-1\\
    1&1
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    3&0\\
    0&\frac{1}{3}
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    1&-1\\
    1&1
    \end{bmatrix}^{-1}=
    \begin{bmatrix}
    \frac{5}{3}&\frac{4}{3}\\
    \frac{4}{3}&\frac{5}{3}
    \end{bmatrix}.
    $$
    在GeoGebra中作出轨迹的部分图像如下所示:

This image has an empty alt attribute; its file name is 1-700x723.png

习题 3. 假设$3\times 3$矩阵$A$的特征值是$3,\frac{4}{5},\frac{3}{5}$,对应的特征向量为$
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-3
\end{bmatrix}
$,$
\begin{bmatrix}
2\\
1\\
-5
\end{bmatrix}
$,$
\begin{bmatrix}
-3\\
-3\\
7
\end{bmatrix}
$.设$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
-2\\
-5\\
3
\end{bmatrix}
$,对给定的$\bm{x}_0$求方程$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的解,并描述当$k\to\infty$时有何结果.

证明 . 记$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-3
\end{bmatrix}
$,$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
2\\
1\\
-5
\end{bmatrix}
$,$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
-3\\
-3\\
7
\end{bmatrix}
$.则
$$
\bm{x}_0=2\bm{v}_1+\bm{v}_2+2\bm{v}_{3}.
$$

$$
\bm{x}_{k}=A^k\bm{x}_0=A^k(2\bm{v}_1+\bm{v}_2+2\bm{v}_3)=2\times
3^k\bm{v}_1+(\frac{4}{5})^k\bm{v}_2+2\times (\frac{3}{5})^k\bm{v}_3.
$$
当$k\to\infty$时,$\frac{\bm{x}_k}{3^k}\to 2\bm{v}_1$.

习题 4. 若矩阵$A$具有上题描述的性质,原点是该动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子,排斥子还是鞍点?求最大吸引方向或排斥方向.

证明 . 原点是该动力系统的鞍点.最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向,最大吸引方向是向量$\bm{v}_3$的方向.

习题 5. 在古老的Douglas冷杉森林中,斑点猫头鹰主要以鼯鼠为食.设这两个种群的捕食者-食饵矩阵$A=
\begin{bmatrix}
0.4&0.3\\
-p&1.2
\end{bmatrix}
$,证明,若捕食参数$p$为$0.325$,则两个种群的数量都是增长的.预测长期增长率及猫头鹰与鼯鼠的最终比率.

证明 . 设在时间$k$,猫头鹰的数目是$O_k$,鼯鼠的数目是$R_k$.则
$$
\begin{bmatrix}
O_{k+1}\\
R_{k+1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0.4&0.3\\
-0.325&1.2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
O_k\\
R_k
\end{bmatrix}.
$$
可求得矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=\frac{11}{20}$,$\lambda_2=\frac{21}{20}$.因此这两个种群的数目,就长期来看,都是增长的.长期增长率为$\frac{21}{20}$.由于矩阵$A$的特征值$\frac{21}{20}$对应于特征向量$
\begin{bmatrix}
6\\
13
\end{bmatrix}
$,因此猫头鹰和鼯鼠的最终比率为$6:13$.

习题 6. 若上一题中的捕食参数为0.5,证明猫头鹰和鼯鼠最终都会灭亡.$p$取何值时,两者的数量保持稳定?此时,两者的数量关系是什么?

证明 . 当$p=0.5$时,矩阵$A$的特征值是$0.7,0.9$.无论是哪个特征值都小于$1$,因此
猫头鹰和鼯鼠最终会灭亡.

当$p=0.4$时,两者的数量保持稳定.因为特征值$1$对应的特征向量是$
\begin{bmatrix}
1\\
2
\end{bmatrix}
$,因此在稳定情形,猫头鹰和鼯鼠的比例关系是$1:2$.


习题 7. 在下面的习题中,把原点归类为动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子
或排斥子或鞍点.并求最大的吸引方向或排斥方向.

  • $A=
    \begin{bmatrix}
    1.7&-0.3\\
    -1.2&0.8
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.3&0.4\\
    -0.3&1.1
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.4&0.5\\
    -0.4&1.3
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.5&0.6\\
    -0.3&1.4
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.8&0.3\\
    -0.4&1.5
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    1.7&0.6\\
    -0.4&0.7
    \end{bmatrix}
    $.


证明 .

  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=2,\lambda_2=\frac{1}{2},
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量是$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    -1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    4
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.最大的吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向,最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=0.9,\lambda_2=0.5,
    $$
    特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    2\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子.最大的吸引方向为向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=0.8,\lambda_2=0.9.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    5\\
    4
    \end{bmatrix}
    $,$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.最大吸引方向为向量$\bm{v}_1$对应的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.1,\lambda_2=0.8.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    2\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.最大排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向,最大吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值
    $$
    \lambda_1=1.2,\lambda_2=1.1.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    3\\
    4
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的排斥子,最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.1,\lambda_2=1.3,
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量为$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    -1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量为$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    3\\
    -2
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的排斥子.最大排斥方向是向量$\bm{v}_2$的方向.


习题 8. 设$A=
\begin{bmatrix}
0.4&0&0.2\\
0.3&0.8&0.3\\
0.3&0.2&0.5
\end{bmatrix}
$,向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
0.1\\
0.6\\
0.3
\end{bmatrix}
$是$A$的特征向量,$A$的两个特征值是0.5和0.2,求动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$满足$\bm{x}_0=(0,0.3,0.7)$的解,当$k\to\infty$时,$\bm{x}_k$会如何?

证明 . 矩阵$A$的特征值是
$$
\lambda_1=1,\lambda_2=0.5,\lambda_3=0.2.
$$
特征值$\lambda_1$对应于特征向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
0.1\\
0.6\\
0.3
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应于特征向量$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
0.2\\
-0.3\\
0.1
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应于特征向量$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
-0.1\\
0\\
0.1
\end{bmatrix}
$. 可得
$$
\bm{x}_0=0.1\bm{v}_1-0.8\bm{v}_2-1.5\bm{v}_3.
$$
所以动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$满足$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
0\\
0.3\\
0.7
\end{bmatrix}
$的解是
$$
\bm{x}_k=A^k\bm{x}_0=A^k(0.1\bm{v}_1-0.8\bm{v}_2-1.5\bm{v}_3)=0.1\bm{v}_1-0.8\times
(0.5)^k\bm{v}_2-1.5\times 0.2^k\bm{v}_3.
$$
当$k\to\infty$时,$\bm{x}_k\to 0.1\bm{v}_1$.

习题 9. 为某动物种类建立阶段矩阵模型.该动物的生命周期分为2个阶段,幼年期(1岁以前)和成年期.假设每只成年雌性一年平均生下1.6只幼年雌性.每年,有$30\%$的幼年存活下来进入成年和$80\%$的成年仍然存活.对$k\geq 0$,设$\bm{x}_k=(j_k,a_k)$,其中$\bm{x}_k$的分量表示在$k$年幼年和成年的数量.

  • 构造阶段矩阵$A$,使得对$k\geq 0$时,有$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$.
  • 证明动物的数量是增长的,并计算最终增长率和幼年与成年的最终比率.


证明 .

  • 由题意,
    $$
    \begin{bmatrix}
    j_{k+1}\\
    a_{k+1}
    \end{bmatrix}=
    \begin{bmatrix}
    0&1.6\\
    0.3&0.8
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    j_k\\
    a_k
    \end{bmatrix}.
    $$
    所以矩阵$A=
    \begin{bmatrix}
    0&1.6\\
    0.3&0.8
    \end{bmatrix}.
    $
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.2,\lambda_2=-0.4.
    $$
    其中有一个特征值大于$1$,所以动物的数量是增长的.最终的增长率是每年增长
    $20\%$.特征值$\lambda_1$对应于特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    4\\
    3
    \end{bmatrix}
    $.所以幼年和成年的最终比率为$4:3$.

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下面的题目都来自David.C.Lay编著的《线性代数及其应用》中文第3版第2.6节(Leontief投入产出模型).我们给出解答.

题目1:设某一经济有两个部门,商品和服务部门.商品部门的单位产出需要0.2单位商品和0.5单位服务的投入,服务部门的单位产出需要0.4单位商品和0.3单位服务的投入.最终需求是20单位商品和30单位服务,列出Leontief投入产出模型的方程.

:设产出向量为$\bm {x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
$,其中$x$为商品产出,$y$为服务产出.则
$$
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0.2&0.4\\
0.5&0.3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
20\\
30
\end{bmatrix}.
$$
这就是该问题的Leontief投入产出模型的方程.


题目2:下面四个问题讨论一个经济体系,它分为制造业、农业和服务业三个部门.制造业每单位产出需要0.10单位制造业产品,0.30单位农业产品和0.30单位服务产品投入.每单位农业产出需要0.20单位它自己的产出,0.60单位制造业产出,0.10单位服务产出,服务业的每单位产出消耗0.10单位服务,0.60单位制造业产品,但不消耗农业产出.

  • 构造此经济的消耗矩阵,若农业要生产100单位产出,产生的中间需求是什么?


解:此经济的消耗矩阵是
$$
C=
\begin{bmatrix}
0.10&0.60&0.60\\
0.30&0.20&0\\
0.30&0.10&0.10
\end{bmatrix}.
$$
若农业要生产100单位产出,产生的中间需求是
$$
\begin{bmatrix}
0.10&0.60&0.60\\
0.30&0.20&0\\
0.30&0.10&0.10
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\
100\\
0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
60\\
20\\
10
\end{bmatrix}.
$$

  • 为了满足最终需求为18单位农业产品(对其他部门无最终需求),总的产出水平应为多少(不要计算逆矩阵).


解:设总的产出水平为$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
$.则
$$
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0.10&0.60&0.60\\
0.30&0.20&0\\
0.30&0.10&0.10
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0\\
18\\
0
\end{bmatrix},
$$
解得$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
\frac{100}{3}\\
35\\
15
\end{bmatrix}
$.

  • 为了满足最终需求为18单位制造业产品(对其他部门无最终需求),总的产出水平应为多少?(不要计算逆矩阵).


解:设总的产出水平为$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
$.则
$$
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
0.10&0.60&0.60\\
0.30&0.20&0\\
0.30&0.10&0.10
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
18\\
0\\
0
\end{bmatrix},$$
解得$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
40\\
15\\
15\\
\end{bmatrix}
$.

  • 为了满足最终需求为18单位制造业产品,18单位农业产品,0单位服务,总的产出水平应为多少.


解:设总的产出水平为$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
$.则
$$
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0.10&0.60&0.60\\
0.30&0.20&0\\
0.30&0.10&0.10
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
18\\
18\\
0
\end{bmatrix},
$$
解得$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
\frac{220}{3}\\
50\\
30
\end{bmatrix}
$.


题目3:考虑生产模型$\bm{x}=C\bm{x}+\bm{d}$,该经济体系有两个部门,其中
$$
C=
\begin{bmatrix}
0.0&0.5\\
0.6&0.2
\end{bmatrix},\bm{d}=
\begin{bmatrix}
50\\
30
\end{bmatrix}
$$
请利用逆矩阵来确定产出水平,以满足最终需求.

解:设生产水平$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
$,则$(I-C)\bm{x}=\bm{d}$.而
$$
(I-C)^{-1}=
\begin{bmatrix}
1.6&1\\
1.2&2
\end{bmatrix}.
$$
因此
$$
\bm{x}=(I-C)^{-1}\bm{d}=
\begin{bmatrix}
1.6&1\\
1.2&2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
50\\
30
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
110\\
120
\end{bmatrix}.
$$

(题目4):重复上面的习题,取$C=
\begin{bmatrix}
0.1&0.6\\
0.5&0.2
\end{bmatrix}
$,$\bm{d}=
\begin{bmatrix}
18\\
11
\end{bmatrix}
$.


解:设产出水平为向量$\bm{x}=
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
$.则$\bm{x}=C\bm{x}+\bm{d}$.即$(I-C)\bm{x}=\bm{d}$.而
$$
(I-C)^{-1}=
\begin{bmatrix}
\frac{40}{21}&\frac{10}{7}\\
\frac{25}{21}&\frac{15}{7}
\end{bmatrix},
$$
因此
$$
\bm{x}=(I-C)^{-1}\bm{d}=
\begin{bmatrix}
\frac{40}{21}&\frac{10}{7}\\
\frac{25}{21}&\frac{15}{7}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
18\\
11
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
50\\
45
\end{bmatrix}.
$$

(题目5):Leontief产出方程$\bm{x}=C\bm{x}+\bm{d}$通常与对偶的价格方程
$$
\bm{p}=C^T\bm{p}+\bm{v}
$$联系在一起,其中$\bm{p}$为价格向量,它的元素列出各部门产出的单位价格,$\bm{v}$是增值向量,它的元素是每单位产出附加的价值(增值包括工资、利润、折旧等).经济中重要的事实是国内生产总值(GDP)可用两种方式表示:
$$
{\mbox{国内生产总值}}=\bm{p}^T\bm{d}=\bm{v}^T\bm{x}
$$
证明第二个等式.


证明 . $$
\bm{v}^{T}\bm{x}=\bm{p}^T(I-C)^T\bm{x}=\bm{p}^T\bm{d}.
$$

(题目6):设$C$为消耗矩阵.当$m\to\infty$时$C^m\to 0$,对$m=1,2,\cdots$,令
$D_m=I+C+\cdots+C^m$,求出把$D_m$和$D_{m+1}$联系的差分方程,得出由(8)计算$(I-C)^{-1}$的迭代算法.

解:
$$
D_{m+1}=I+C+\cdots+C^{m+1}=I+CD_m.
$$
以此递推关系为依据可以通过不断迭代计算$D_m(m=1,2,\cdots)$.

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