射影向量法解一道立体几何难题(3)

继博文射影向量法解一道立体几何难题(1)射影向量法解一道立体几何难题(2)后,让我们继续用射影向量法解决一道类似的立体几何难题.

题目(郑日锋《每日一题:高考热点问题》第83题):已知在正四面体$ABCD$中,$AB\parallel$平面$\alpha$,$E,F$分别为线段$AD,BC$上的点,且$AE=\frac{1}{3}AD$,$BF=\frac{2}{3}BC$,当正四面体$ABCD$以$AB$为轴旋转时,直线$AB$与$EF$在平面$\alpha$上的射影所成角的余弦值的取值范围是?

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解:不妨设四面体$ABCD$的棱长为$1$.设平面$\alpha$上的一组单位正交向量为$\ov{AB}$和$\bm{e}$.易知
$$
\ov{EF}=\frac{1}{3}\ov{AB}+\frac{2}{3}\ov{AC}-\frac{1}{3}\ov{AD}.
$$
向量$\ov{EF}$在平面$\alpha$上的射影向量
\begin{align*}
\ov{E’F’}&=\left(\ov{EF}\cdot\ov{AB}\right)\ov{AB}+\left(\ov{EF}\cdot\bm{e}\right)\bm{e}
\\&=\left[\left(\frac{1}{3}\ov{AB}+\frac{2}{3}\ov{AC}-\frac{1}{3}\ov{AD}\right)\cdot\ov{AB}\right]\ov{AB}+\left[\left(\frac{1}{3}\ov{AB}+\frac{2}{3}\ov{AC}-\frac{1}{3}\ov{AD}\right)\cdot\bm{e}\right]\bm{e}
\\&=\left(\frac{1}{3}\ov{AB}^{2}+\frac{2}{3}\ov{AC}\cdot\ov{AB}-\frac{1}{3}\ov{AD}\cdot\ov{AB}\right)\ov{AB}+\left[\left(\frac{2}{3}\ov{AC}-\frac{1}{3}\ov{AD}\right)\cdot\bm{e}\right]\bm{e}
\\&=\frac{1}{2}\ov{AB}+\left(\frac{2}{3}\ov{AC}\cdot\bm{e}-\frac{1}{3}\ov{AD}\cdot\bm{e}\right)\bm{e}.
\end{align*}
如图2所示,记线段$AB$的中点为$M$.在线段$MC$上取点$N$,使得$\ov{MN}=\frac{2}{3}\ov{MC}$.在线段$MD$上取点$H$,使得$\ov{MH}=\frac{1}{3}\ov{MD}$.则
\begin{align*}
\frac{2}{3}\ov{AC}\cdot\bm{e}-\frac{1}{3}\ov{AD}\cdot\bm{e}&=\frac{2}{3}\left(\ov{AM}+\ov{MC}\right)\cdot\bm{e}-\frac{1}{3}\left(\ov{AM}+\ov{MD}\right)\cdot\bm{e}
\\&=\frac{2}{3}\ov{MC}\cdot\bm{e}-\frac{1}{3}\ov{MD}\cdot\bm{e}
\\&=\ov{MN}\cdot\bm{e}-\ov{MH}\cdot\bm{e}
\\&=\ov{HN}\cdot\bm{e}
\end{align*}

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因此,
$$
\ov{E’F’}=\frac{1}{2}\ov{AB}+\left(\ov{HN}\cdot\bm{e}\right)\bm{e},
$$

$$
\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ov{AB}^{2}\leq \ov{E’F’}^2=\frac{1}{4}\ov{AB}^2+\left(\ov{HN}\cdot\bm{e}\right)^2\leq \frac{1}{4}\ov{AB}^2+\ov{HN}^2=\frac{5}{9}.
$$
因此
$$
\frac{1}{2}\leq|\ov{E’F’}|\leq \frac{\sqrt{5}}{3}.
$$
设直线$AB$与$EF$在平面$\alpha$上的射影所成角为$\theta$,则
$$
\frac{3 \sqrt{5}}{10}\leq
\cos\theta=\frac{|\ov{AB}\cdot\ov{E’F’|}}{|\ov{AB}||\ov{E’F’}|}=\frac{\frac{1}{2}\ov{AB}^2}{|\ov{E’F’}|}=\frac{1}{2|\ov{E’F’}|}\leq 1.
$$当且仅当直线$HN$垂直于平面$\alpha$时,直线$AB$与$EF$在平面上射影的夹角余弦值取到最大;当且仅当直线$HN$平行于平面$\alpha$时,直线$AB$与$EF$在平面上射影的夹角余弦值取到最小.

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