向量法解一道动态立体几何题(2)

继博文向量法解一道动态立体几何难题后,我们继续用向量法解一道动态立体几何题.这道题相比第一篇的那道题要简单一点.

(郑日锋《每日一题:高考热点问题》第84题练习2)如图,直线$l\perp$平面$\alpha$,垂足为$O$,已知在直角三角形$ABC$中,$BC=1,AC=2,AB=\sqrt{5}$,该直角三角形在空间作符合以下条件的自由运动:(1)$A\in l$;(2)$C\in\alpha$,则$BO$的最大值为?

此图像的alt属性为空;文件名为20190126-1.png解:设平面$\alpha$的一个单位法向量是$\bm{n}$.则
$$
\ov{OA}=(\ov{CA}\cdot\bm{n})\bm{n},
$$

$$
\ov{CO}=\ov{CA}-\ov{OA}=\ov{CA}-(\ov{CA}\cdot\bm{n})\bm{n}.
$$

$$
\ov{BO}=\ov{BC}+\ov{CO}=\ov{BC}+\ov{CA}-(\ov{CA}\cdot\bm{n})\bm{n}.
$$
因此
\begin{align*}
\ov{BO}^2&=\left[\ov{BC}+\ov{CA}-(\ov{CA}\cdot\bm{n})\bm{n}\right]^{2}
\\&=\ov{BC}^2+\ov{CA}^2+(\ov{CA}\cdot\bm{n})^2-2(\ov{CA}\cdot\bm{n})(\ov{BC}\cdot\bm{n})-2(\ov{CA}\cdot\bm{n})^2
\\&=5-(\ov{CA}\cdot\bm{n})^{2}-2(\ov{CA}\cdot\bm{n})(\ov{BC}\cdot\bm{n}).
\end{align*}
因为$\{\ov{BC},\frac{1}{2}\ov{CA}\}$是平面$ABC$的一组单位正交基底,故
$$
0\leq (\bm{n}\cdot\ov{BC})^2+(\frac{1}{2}\bm{n}\cdot\ov{CA})^2\leq 1.
$$
设$\bm{n}\cdot\ov{BC}=x,\frac{1}{2}\bm{n}\cdot\ov{CA}=y$,则
$$
0\leq x^2+y^2\leq 1,
$$

$$
\ov{BO}^2=5-4(y^2+xy).
$$
下求$y^2+xy$的最小值.因为
$$
xy=\sqrt{\sqrt{2}-1}x\cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}y\geq -\frac{(\sqrt{\sqrt{2}-1}x)^{2}+(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}y)^2}{2}=-\frac{(\sqrt{2}-1)x^2+(\sqrt{2}+1)y^2}{2},
$$
所以
$$
y^2+xy\geq
y^2-\frac{(\sqrt{2}-1)x^2+(\sqrt{2}+1)y^2}{2}=-\frac{\sqrt{2}-1}{2}(x^2+y^2)\geq -\frac{\sqrt{2}-1}{2},
$$

$$
\ov{BO}^2\leq 5-4\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)=2 \sqrt{2}+3,
$$

$$
|\ov{BO}|\leq \sqrt{2 \sqrt{2}+3}=\sqrt{2}+1.
$$
最大值当且仅当$x=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$,$y=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$或$x=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$,$y=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$时成立.

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