射影向量法求线面角(兼勘误闻杰的解答)

闻杰老师出了一套《高考数学拉档提分全攻略》,我买了其中的立体几何分册.从里面挑选了一道题试了一下射影向量法的威力,顺便发现闻老师的解答出了问题.(这不是我第一次使用这种方法了,上次使用见博文射影向量法解2018浙江高考立体几何题).

(闻杰《高考数学拉档提分全攻略——立体几何》第39页例5)如图,已知四面体$A-BCD$,$\angle DAB=30^{\circ}$,$\angle BAC=60^{\circ}$,$\angle CAD=45^{\circ}$,$AB=4,AC=2,AD=3$.求直线$AC$与平面$ABD$所成的角的余弦值.

此图像的alt属性为空;文件名为20190205-1.png解:$\mathcal{A}=\{\ov{AB},\ov{AD}\}$是平面$ABD$的一组基底.令
$$
\ov{AD’}=\ov{AD}-\frac{\ov{AD}\cdot\ov{AB}}{\ov{AB}^2}\ov{AB}=\ov{AD}-\frac{3
\sqrt{3}}{8}\ov{AB}.
$$
可得
$$
|\ov{AD’}|=\sqrt{\left(\ov{AD}-\frac{3
\sqrt{3}}{8}\ov{AB}\right)^2}=\sqrt{\ov{AD}^2+\frac{27}{64}\ov{AB}^2-\frac{3
\sqrt{3}}{4}\ov{AD}\cdot\ov{AB}}=\frac{3}{2}.
$$

$$
\bm{v}_1=\frac{\ov{AB}}{|\ov{AB}|}=\frac{1}{4}\ov{AB},\bm{v}_2=\frac{\ov{AD’}}{|\ov{AD’}|}=\frac{2}{3}\ov{AD}-\frac{\sqrt{3}}{4}\ov{AB},
$$
则$\{\bm{v}_1,\bm{v}_2\}$是平面$ABD$上的一组单位正交基底.向量$\ov{AC}$在平面$ABD$上的射影向量
$$
\ov{AC’}=(\ov{AC}\cdot\bm{v}_1)\bm{v}_{1}+(\ov{AC}\cdot\bm{v}_2)\bm{v}_{2}=\bm{v}_1+(2
\sqrt{2}-\sqrt{3})\bm{v}_2.
$$
因此
$$
|\ov{AC’}|=\sqrt{1^2+(2 \sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{12-4 \sqrt{6}}
$$
因此直线$AC$与平面$ABD$所成角$\theta$的余弦值为
$$
\cos\theta=\frac{|\ov{AC’}|}{|\ov{AC}|}=\sqrt{3- \sqrt{6}}.
$$

 

闻杰老师的解答是错误的(附于下面),因为他好像求的是直线$AD$与平面$ABC$的夹角余弦值.

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