e的级数表达式之欧拉论证的严格化

Euler曾经用自然对数e的定义$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e,
$$推导出e的级数表达式$$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots,$$方法是对$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$进行二项式展开.由于Euler那时对极限的意义尚不明确,故他的论证从现代的角度来看是不严密的.

在Peter Lax的微积分教材《微积分及其应用》(林开亮等翻译)中,有一道习题就是让我们把Euler的论证严格化.由于整道习题的提示分量很足,我就把习题贴到这里而不再给出更详细的按部就班的解答.

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但是接下来我要呈现的,是我自己的严密化方案.这种方法和Peter Lax的微积分教材中的方法不一样.

首先,我承认$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e,
$$

再令
$$
g(n)=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!},
$$
则由比值判别法可得$\lim_{n\to\infty}g(n)$存在.而
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&={n\choose
0}\left(\frac{1}{n}\right)^0+{n\choose
1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+{n\choose
2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\cdots+{n\choose
k}\left(\frac{1}{n}\right)^k+\cdots+{n\choose
n}\left(\frac{1}{n}\right)^n
\\&=2+\frac{1(1-\frac{1}{n})}{2!}+\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!}+\cdots+\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k}{n})}{(k+1)!}+\cdots+\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots
(1-\frac{n-1}{n})}{n!}
\\&<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{(k+1)!}+\cdots+\frac{1}{n!} \\&=g(n) \end{align*} 故 \begin{equation}\label{eq:1} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq \lim_{n\to\infty}g(n). \end{equation} 令 $$ f(u,v)=2+\frac{1(1-\frac{1}{v})}{2!}+\frac{1(1-\frac{1}{v})(1-\frac{2}{v})}{3!}+\cdots+\frac{1 (1-\frac{1}{v})(1-\frac{2}{v})\cdots (1-\frac{u}{v})}{(u+1)!},u,v\in \mathbf{N}^{+}. $$

给定$u$.易得当$u<v$时,
$$
f(u,v)<\left(1+\frac{1}{v}\right)^v,
$$

$$
f(u,v)\leq \lim_{v\to\infty}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v,
$$

$$
\lim_{v\to\infty}f(u,v)=g(u+1)\leq \lim_{v\to\infty}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v,
$$
由于上述不等式对于任意给定的正整数$u$成立,故
\begin{equation}\label{eq:2}
\lim_{u\to\infty}g(u+1)\leq \lim_{v\to\infty}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v,
\end{equation}
不等式\eqref{eq:1}和\eqref{eq:2}联立可得
$$
\lim_{n\to\infty}g(n)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e.
$$

此即$$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$$

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