由确界原理推导一致连续的Cantor定理

Cantor定理表明:

定理:若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.

该定理在现存教科书上有若干不同证明.今天回顾这个定理的时候,我构思了一个另外的证明.这个证明需要用到确界原理.下面阐释之.

对于任意给定的正实数$\delta>0$,构造数列$\{b_n\}$,满足$\forall n\in\mathbf{N}^{+}$,$b_n\in [a,b]$且
$$
b_n=\sup \{x|\forall x_1,x_2\in
[a,x],|x_1-x_2|\leq \frac{1}{2^{n}}\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|\leq\delta\}
$$
可得$b_{n+1}\geq b_n$.由于$\{b_n\}$是单调有界数列,因此$\lim_{n\to\infty}b_n$存在.记$\lim_{n\to\infty}b_n=c$.可得$a< c\leq b$.

引理1:必存在正整数$m$,使得$b_m=c$

证明:因为$f(x)$在$x=c $处连续,所以必定存在充分小的正实数$\varepsilon$,使得$ \forall x\in [c-\varepsilon,c]$, \begin{equation} \label{eq:1} |f(x)-f(c)|\leq \frac{1}{2}\delta. \end{equation} 由于$\lim_{n\to\infty}b_n=c$,故必定存在满足条件$\cfrac{1}{2^m}\leq \cfrac{1}{2}\varepsilon$的正整数$m$,使得 $$ |b_m-c|\leq \frac{1}{2}\varepsilon. $$ 则对于任意的$x_1,x_2\in [a,c]$且$x_1<x_2$,当$|x_1-x_2|\leq\cfrac{1}{2^{m}}$时,

  • 若$x_1,x_2\in [a,b_{m})$,则由$b_m$的定义可知$\left|f(x_{1})-f(x_2)\right|\leq\delta$.
  • 若$x_1,x_2\in [b_m,c]\subseteq
    [c-\cfrac{1}{2}\varepsilon,c]$,则由关系\eqref{eq:1}可得
    \begin{align*}
    |f(x_1)-f(x_2)|&=\left|\left[f(x_1)-f(c)]+[f(c)-f(x_2)\right]\right|
    \\&\leq |f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|
    \\&\leq \frac{1}{2}\delta+\frac{1}{2}\delta
    \\&=\delta.
    \end{align*}
  • 若$x_1\in [a,b_m),x_2\in [b_m,c]$.则$x_1\geq
    x_2-\cfrac{1}{2^m}\geq x_2-\cfrac{1}{2}\varepsilon\geq
    b_m-\cfrac{1}{2}\varepsilon\geq c-\varepsilon$.即$x_1,x_2\in
    [c-\varepsilon,c]$,故
    \begin{align*}
    |f(x_1)-f(x_2)|&=\left|\left[f(x_1)-f(c)]+[f(c)-f(x_2)\right]\right|
    \\&\leq |f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|
    \\&\leq \frac{1}{2}\delta+\frac{1}{2}\delta
    \\&=\delta.
    \end{align*}
综合上面三点讨论,可见,对于任意的$x_1,x_2\in [a,c]$且$x_1<x_2$,当$|x_1-x_2|\leq
\cfrac{1}{2^{m}}$时,始终有
$$
|f(x_1)-f(x_2)|\leq\delta.
$$
这意味着$b_m\geq c$.而$c\geq b_m$,故只能有$b_m=c$.$\Box$

由引理1,进一步可得$\forall n\geq m$,$b_n=c$.

引理2:$c=b$.

证明:假设$c\neq b$,则$c<b$.因为函数$f(x)$在$x=c$处连续,故存在正实数
$0<\xi<b-c$使得对于任意的$x_1,x_2\in (c-\xi,c+\xi)$,都有
$$
|f(x_1)-f(x_2)|\leq\delta.
$$
这表明$\lim_{n\to\infty}b_n\geq c+\xi$,与$\lim_{n\to\infty}b_{n}=c$矛盾.故$c=b$.$\Box$

结合上述两个引理,可得存在正整数$m$,使得$b_m=b$.且易得集合
$$
B=\{x|\forall x_1,x_2\in [a,x],|x_1-x_2|\leq
\cfrac{1}{2^{m}}\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|\leq\delta\}
$$
是闭区间,故实际上
$$
b=b_m=\sup B=\max B.
$$
由此得证定理.QED

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