绍兴柯桥二模选择题第10题

题目(绍兴柯桥2018学年第二学期高三教学质量调测选择题10):已知数列$\{a_n\},\{b_n\}$满足$a_{n+1}=\cfrac{1}{3}a_n+\cfrac{1}{2}b_n$,$b_{n+1}=\cfrac{1}{3}a_n-\cfrac{1}{2}b_n$,设数列$\{|a_n|\}$,$\{|b_n|\}$的前$n$项和分别为$S_n$,$T_n$,则存在正常数$M$,对任意$n\in \mathbf{N}^{*}$都有

A.$S_n<M$且$t_n>M$

B.$S_n<M$且$t_n<M$

C.$s_n>M$且$T_n<M$

D.$s_n>M$且$T_n>M$

: 答案$B$.当然题目出得不够好,导致人们可以取极端情形,即令$a_1=b_1=0$,从而选择$B$.现在,我们不禁要问,$B$的正确性如何一般性地进行证明呢?由题意,
$$
\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_{n}
\end{pmatrix}.
$$
先求矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
的特征值$\lambda$.为此,只用令
$$
\begin{vmatrix}
\frac{1}{3}-\lambda&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$

$$
(\frac{1}{3}-\lambda)(-\frac{1}{2}-\lambda)-\frac{1}{6}=0,
$$
解得$\lambda_1=\frac{1}{2}$,$\lambda_2=-\frac{2}{3}$.然后,将矩阵$A$对角化:
$$
A=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&0\\
0&-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}^{-1}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&0\\
0&-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n
\end{pmatrix}.
$$
构造新数列
$$
\begin{pmatrix}
c_n\\
d_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\
-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n
\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{pmatrix}
c_{n+1}\\
d_{n+1}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&0\\
0&-\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_n\\
d_n
\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{pmatrix}
c_n\\
d_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
(\frac{1}{2})^{n-1}&0\\
0&(-\frac{2}{3})^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1\\
d_1
\end{pmatrix},
$$
反解得
$$
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_n\\
d_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3(\frac{1}{2})^{n-1}&-(-\frac{2}{3})^{n-1}\\
(\frac{1}{2})^{n-1}&2(-\frac{2}{3})^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1\\
d_1
\end{pmatrix},
$$
令$P=\max\{|c_1|,|d_1|\}$,则
\begin{align*}
|a_n|&=\left|3 ( \cfrac{1}{2} )^{n-1}c_1-( –
\frac{2}{3})^{n-1}d_1\right|\\&\leq
3(\frac{1}{2})^{n-1}|c_1|+(\frac{2}{3})^{n-1}|d_1|\\&\leq
3(\frac{2}{3})^{n-1}|c_1|+(\frac{2}{3})^{n-1}|d_1|\\&\leq 4(\frac{2}{3})^{n-1}P,
\end{align*}
\begin{align*}
|b_n|&=\left| (\frac{1}{2})^{n-1}c_{1}+2(-\frac{2}{3})^{n-1}d_1
\right|
\\&\leq (\frac{1}{2})^{n-1}|c_1|+2(\frac{2}{3})^{n-1}|d_1|
\\&\leq (\frac{2}{3})^{n-1}|c_1|+2(\frac{2}{3})^{n-1}|d_1|
\\&\leq 3(\frac{2}{3})^{n-1}P.
\end{align*}

$$
S_n=\sum_{i=1}^n|a_n|\leq\sum_{i=1}^n4(\frac{2}{3})^{n-1}P=12P\left[1-(\frac{2}{3})^n\right]\leq 12P,
$$
$$
T_n=\sum_{i=1}^n|b_n|\leq\sum_{i=1}^n3(\frac{2}{3})^{n-1}P=9P \left[
1-(\frac{2}{3})^n \right]\leq 9P.
$$
可见只用令$M=12P+1$即可.

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