Peter Lax《微积分及其应用》第二章习题选解

问题 1 (2.16). 设$f(x)=\frac{1}{x}$.证明在区间$[3,5]$上,$f(x)$与$f(c)$的误差不超过$\frac{1}{9}|x-c|$.将一致连续的定义抄写在作业纸上,说明$f$在$[3,5]$上一致连续.

解答 1.1. 对于任意的$x_1,x_2\in [3,5]$,且$x_1\neq x_2$,
\begin{align*}
|f(x_1)-f(x_2)|&=|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|
\\&=\frac{|x_1-x_2|}{x_1x_2}\\&<\frac{1}{9}|x_1-x_2|. \end{align*} 故对于任意给定的正实 数$\delta>0$,只用$|x_1-x_2|<9\delta$,便有$|f(x_1)-f(x_2)|<\delta$.故 $f(x)$在区间$[3,5]$上一致连续.
问题 2 (2.73). 利用1.4节的方法证明对$x>0$,数列$e_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$是递增数列.

解答 2.1. 设$x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$为非负实数且满足
$$
x_1+x_2+\cdots+x_{n+1}=x,
$$
则由平均值不等式,
$$
(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_{n+1})\leq
\left[\frac{(n+1)+(x_1+x_2+\cdots+x_{n+1})}{n+1}\right]^{n+1}=(1+\frac{x}{n+1})^{n+1},
$$
等号当且仅当$x_1=x_2=\cdots=x_{n+1}=\frac{x}{n+1}$时成立.因此当$x_1=x_2=\cdots=x_{n}=\frac{x}{n}$,$x_{n+1}=0$时,
$$
(1+x_1)(1+x_2)\cdots
(1+x_{n+1})=(1+\frac{x}{n})^n<(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}, $$ 证毕.
注记 1. 使用相同的方法其实可以证明,当$x\in \mathbf{R}$,且$1+\cfrac{x}{n}$是正 数时,数列$e_n=\left( 1+\cfrac{x}{n} \right)^n$是递增数列.这是问题2的 推广.
问题 3 (2.74). 证明对$x>0$,数列$\{e_n(x)\}$有界.

解答 3.1. 实际上,我们可以证明更强的结论,即数列$\{e_n(x)\}$收敛.这是因为对于任意$x>0$,
$$
\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{x}{n}
\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left[\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{x}}
\right)^{\frac{n}{x}}\right]^x=e^{x}.
$$

问题 4. (自编)令函数$e_n(x)=\left( 1+\cfrac{x}{n} \right)^n$.证明函数列$\{e_n(x)\}$在任一闭区间$[-c,c]$上一致收敛于函数$e^{x}$,其中$c>0$.

解答 4.1.
  • 当$x\geq
    0$时,$f(x)=e^{x}-\left( 1+\cfrac{x}{n}
    \right)^{n}$是关于$x$的单调递增函数.这是博文关于$e$的一个问题串问题7中已经解决的问题.
  • $\lim_{n\to\infty}e_n(c)=e^{c}$.

  • 前两点结合容易证得函数列$\{e_n(x)\}$在闭区间$[0,c]$上一致收敛于$e^{x}$.下面再证明函数列$\{e_n(x)\}$在闭区间$[-c,0]$上也一致收敛于$e^x$.

  • 首先由于$\{e_n(x)\}$在$[0,c]$上一致收敛于$e^{x}$,因此由教材定理2.12条目(c),$\{\frac{1}{e_{n}(x)}\}$在$[0,c]$上一致收敛于$\frac{1}{e^{x}}$.即
    $\left\{\left(\frac{1}{1+\frac{x}{n}}\right)^{n}\right\}=\left\{\left(1-\frac{x}{n+x}\right)^{n}\right\}$在$[0,c]$上一致收敛于$e^{-x}$.即$\left\{\left(1+\frac{x}{n-x}\right)^{n}\right\}$在$[-c,0]$上一致收敛于$e^{x}$.
  • 然后证明$\{e_{n}(x)\}=\left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right\}$在$[-c,0]$上一致收敛于$\left\{\left(1+\frac{x}{n-x}\right)^{n}\right\}$.即证明
    $$
    \frac{\left(1+\cfrac{x}{n}\right)^n}{\left(1+\cfrac{x}{n-x}\right)^{n}}=\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^{n}
    $$
    在$[-c,0]$上一致收敛于函数$y=1$.这是容易的.
  • 将第5点和第4点的结论结合,可得$\{e_{n}(x)\}$在$[-c,0]$上一致收敛于函数$e^{x}$.

  • 由$\{e_{n}(x)\}$在$[-c,0]$上和$[0,c]$上都一致收敛于$e^{x}$,易得$\{e_{n}(x)\}$在$[-c,c]$上一致收敛于$e^{x}$.

问题 5. 利用等式$1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}$在区间$-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$上给出近似表达式
$$
1+x+x^2+x^3+x^4\approx \frac{1}{1-x}
$$
的精度估计.

解答 5.1. $$
\left|\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right)-\cfrac{1}{1-x}\right|=\frac{|x|^5}{1-x}\leq
\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}.
$$

问题 6 (2.62). 利用定理2.12找到一个区间$[a,b]$,使如下收敛
$$
1+e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+\cdots=\frac{1}{1-e^{-t}}
$$
对$t\in [a,b]$是一致的.

解答 6.1. 令$f_n=1+x+x^2+\cdots+x^n$,函数列$\{f_n(x)\}$在$[-r,r]$上一致收敛于函数$g(x)=\frac{1}{1-x}$,其中$r\in (0,1)$.所以当$t\in [0.01,10000]$时,收敛是一致的.

问题 7 (2.63). 已知幂级数$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n$在$x=4$收敛.那么$x$取什么值时级数必定仍收敛?找出使$f$必定连续的最大开区间.

解答 7.1. 当$x\in [0,4]$时仍收敛.使得$f$必定连续的最大开区间是$(0,4)$.

问题 8 (2.64). 判断下列各组级数中哪个级数的收敛半径较大,其中有一组级数有相同的收敛半径.
  • $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$与$\sum_{n=0}^{\infty}3^nx^n$.
  • $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$与$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
  • $\sum_{n=0}^{\infty}n(x-2)^n$与$\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^n$.

解答 8.1.
  • 第一个级数的收敛区间是$(-1,1)$,收敛半径是$2$;第二个级数的收敛区间是$(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.所以是第一个级数的收敛半径大,第二个级数的收敛半径小.
  • 第一个级数的收敛区间是$(-1,1)$,第二个级数的收敛区间是$(-\infty,+\infty)$,所以第二个级数的收敛半径大.
  • 第一个级数的收敛区间是$(1,3)$,第二个级数的收敛区间是$(2,4)$.它们的收敛半径是一样的.

问题 9. 假设$\{p_n\}$是一正数列,且存在数$L$,使其部分和$p_1+\cdots+p_n$小于$nL$.利用根值判别法证明级数$\sum_{n=0}^{\infty}(p_1p_2p_3\cdots p_n)x^n$在$|x|<\frac{1}{L}$内收敛.
解答 9.1. $$ \limsup_{n\to\infty}(p_1p_2p_3\cdots p_n)^{\frac{1}{n}}\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n}{n}\leq L. $$ 所以当$|x|<\frac{1}{L}$时, $$ \limsup_{n\to\infty}(p_1p_2p_3\cdots p_n)^{\frac{1}{n}}x^n<1. $$ 故在这种情况下级数收敛.
问题 10. 假设由根值判别法判定级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径是 $R$.证明:根据根值判别法,级数$\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^n$的收敛半径也 是$R$.
解答 10.1. 这是因为 $$ \lim_{n\to\infty}(na_n)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}a_n^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}a_n^{\frac{1}{n}}=R. $$

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