人是首先认识了世界上的物体，之后才对空间产生直观感觉。假若世界上根本没有任何物体，只有观察之眼，则人将失去空间感觉。此时，若有人提出空间概念，则众人不知空间为何物，觉得那人在胡说一些无所谓之话。凡人都如此，先有直观的感觉，才会心安理得地接受一个概念，认为那个概念是可接受的。

而人对世界上的物体的认识基于两点，其一是人对物体的色觉。色觉的本质是，作为电磁波的光对人的眼睛产生刺激，这种刺激由神经传导到大脑里，再由大脑进行处理，而产生的一种主观感觉。其二是人对物体的触觉。触觉的本质是，物体中的粒子和身体表面的粒子发生了电磁相互作用，这种作用产生的刺激由神经传导到大脑里，再由大脑进行处理，而产生的一种主观感觉。可见，人对世界上的物体的认识基于主观感觉。

所以，人对空间的认识，只不过是人对物体认识的附属之物，即人的主观感觉的一个附属之物。

凡是主观感觉，都有不可靠的因素在内。一个问题是，为什么现在大家对空间的感觉都出乎一致地统一呢？唯一的解释是，绝大多数的健全正常人的眼睛和大脑的构造都基本相同。

啥也不多说了，这题第一小题做了我两分钟，第二小题做了我两天.题目如下:

题目:已知实数$a\neq 0$,设函数$f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$,$x>0$.

• 当$a=-\frac{3}{4}$时,求函数$f(x)$的单调区间;
  
• 若对任意$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$,均有$f(x)\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}$,求实数$a$的取值范围.
  

(1)解:当$a=-\frac{3}{4}$时,
$$
f(x)=-\frac{3}{4}\ln x+\sqrt{x+1}(x>0),
$$
故
$$
f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}-\frac{3}{4x}
$$
令$f'(x)>0$,解得$x>3$.令$f'(x)<0$,解得$0<x<3$.故$f(x)$在区间$(0,3)$上单调递减,在区间$[3,+\infty)$上单调递增.

(2)解:即
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.首先,必有$a>0$.这是因为,假如$a<0$,则
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}<0,
$$
当$x\to +\infty$时,上面的不等式不成立.故$a>0$.将不等式
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
两边同乘以正数$a$,整理为关于$a$的不等式
\begin{equation}\label{eq:201906091306}
(2\ln x)a^2+2 \sqrt{x+1}a-\sqrt{x}\leq 0.
\end{equation}
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.

• 当$x=1$时,不等式\eqref{eq:201906091306}即$a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$;
  
• 当$x>1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
  $$
  0< a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x }-\sqrt{x+1}}{2\ln
  x}
  $$
  
• 当$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
  \begin{equation}\label{eq:201906082138}
  0<a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln x}
  \end{equation}
  或
  \begin{equation}\label{eq:201906082140}
  a\geq \frac{-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
  x}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}.
  \end{equation}
  对于不等式\eqref{eq:201906082140}来说,因为
  $$
  \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}=+\infty,
  $$
  所以对任意的$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$,使得不等式\eqref{eq:201906082140}恒成立的实数$a$不存在.因此不等式\eqref{eq:201906082140}的情况排除.于是在此种情形,只需考虑不等式\eqref{eq:201906082138}.
  

下证

当$x\neq 1$时,恒有
\begin{align*}
g(x)&=\frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
x}\\&=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}\ln x}+\sqrt{x+1}}
\\&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}
\\&>\frac{\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

即证
$$
\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln
x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}<\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2},
$$
令$t=\frac{1}{x}$,只需证明对于任意的$t\neq 1$,
$$
p(t)=\sqrt{1+t}+\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}
$$
即可.只需要证明当$t\neq 1$时,
\begin{equation}\label{eq:201906101515}
\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}-\sqrt{1+t},
\end{equation}

由$1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0$,得$0<t\leq 7$.这是因为,由$x\geq\frac{1}{e^2}$可得$0<t\leq e^{2}$,故
$$
1+e^2-2 \sqrt{t}\ln t\geq 1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0,
$$
即
$$
\sqrt{t}\ln t \leq \frac{1+e^2}{2},
$$
构造函数
$$
u(t)=\sqrt{t}\ln t,
$$
可得
$$
u'(t)=\frac{2+\ln t}{2 \sqrt{t}},
$$
在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上,$u'(t)>0$,故函数$u(t)$在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上单调递增.且$u(7)= \sqrt{7}\ln 7>\frac{1+e^2}{2}$,故只可能有$t\leq 7$.

所以$2\sqrt{2}-\sqrt{1+t}>0$.不等式\eqref{eq:201906101515}两边平方,整理,即证明当$t\neq 1$时,
$$
\sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4>0.
$$
为此,构造函数
$$
p(t)= \sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4,
$$
可得
$$
p'(t)=\frac{\ln t-(2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}-2)}{2 \sqrt{t}}
$$
构造函数
$$
q(t)=\ln t-2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}+2,
$$
求导并整理可得
$$
q'(t)=\frac{(t+1)^3-2t}{t \sqrt{(t+1)^{3}}\left[\sqrt{(t+1)^{3}}+\sqrt{2t}\right]},
$$
当$t>0$时,$(t+1)^3>(t+1)^2> 2t$,因此$q'(t)>0$.结合$q(1)=0$,可得

• 当$t>1$时,$q(t)>0$;
  
• 当$0<t<1$时,$q(t)<0$.
  

也即,

• 当$t>1$时,$p'(t)>0$;
  
• 当$0<t<1$时,$p'(t)<0$.
  

结合$p(1)=0$,可得函数$p(t)$在$t=1$处取得最小值$0$,在$t\neq 1$时始终大于$0$.这样就完成了证明.$\Box$

综上所述,$0<a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$.

真正的差生不仅不知道如何学习，也不知道如何正确提问。反之，真正的好学生不仅知道如何正确学习，还知道如何正确提问。学问两字，问占了一半。

提问之前最起码的要求是自己先做足功课。

• 课本上可以直接查阅到的知识、定理、公式不要问。基本技能和基本题目最好也不要直接问，而是先阅读课本，把最基本的先掌握。掌握这些知识并不难，否则你也不会在这里。如果不小心问了这样的问题，老师指出相应的知识点在哪一章哪一节有的时候，你要马上自己去查阅，然后弄清。

• 提问之前，先解释自己的想法，对于数学来说，最好以文字语言先把想法写出来。这样别人才可以发现你的思维盲点或者误区在哪里。比如，如果是一道题目做出来和答案对不上，请先把自己的解法详细地、有条理地写出来，然后检查一下，通过这样的过程，往往自己就能查出问题所在，十之八九的问题可以通过这样的方式由自己解决。我接触过不少学生，来问我问题，结果是他自己计算有误（往往还是小学级别的计算错误），这说明他没做好这个步骤。如果这样之后还是无法发现问题所在，可以把自己的解法交给老师看，老师往往能一眼看出你的问题所在，如此你的印象也会更深刻，收获也会更大。
• 如果不是题目解出来和答案对不上，而是对题目没有思路，那也请先说明自己的思路是什么，哪怕只有一点点思路。彻底没有思路是不太可能的，只有两种情况下才会彻底没思路：1.这道题彻底地超出了你的水平和视野，那这道题其实不适合你，你来问了也没用。2.偷懒，没去思考。有了一点思路之后，反思一下，自己有没有将这种思路贯彻下去呢？向别人解释清楚自己的思路之后，别人才可以决定是否可以将你的思路延伸下去，或者指出你的思路是行不通的，需要换一条正确的思路。
• 经常碰到这样的情况，一道题，学生其实是有思路的，而且就是通常的那种思路，只是他没有将思路贯彻到底，持之以恒地做下去。然后把这道题拿来问我，我也会建议他继续按照通常思路把题目做下去，这个时候，他往往会嫌弃这种方法太麻烦不愿继续做，反而问我，有没有简便解法呢？这其实是变相偷懒。数学从来都是先有麻烦解法，然后才通过反思找到捷径的，问题都没解决，你要什么捷径？在这种情况下，我还是会建议你先尝试尽可能地寻求解决问题，哪怕麻烦一点也没事。不要老是想着什么事情会有捷径，老老实实给我按部就班做下去，多数问题不会太麻烦的！
• 不要以为我会像保姆一样把每一步都跟你解释清楚，连计算都要靠我。从来都是点到为止。我不是你保姆。绝大部分书写和补充的工作还是需要你自己来完成，否则岂不是变成我做作业了？

通过以上步骤，十之八九的问题通过自己就消化解决了。剩下来的才是不得不向别人或老师问的问题。事实上，在我读中学的时候，就很少向数学老师提问，因为在提问之前自己都先做足了功课，从而问题在向别人提出之前就被自己解决了。怎么提问本质上关乎一个人的学习态度，希望引起大家警戒。