问题 1 (
3.25)
. 距离某星球中心为$r$的火箭受到的重力为$F=-\cfrac{GMm}{r^2}$,其中$M,m$
分别为星球和火箭的质量,$G$是一个常数.
- 求$\cfrac{dF}{dr}$.
- 若距离$r$按照$r(t)=2000000+1000t$的方式依赖于时间$t$,求重力对时
间的变化率$\cfrac{dF}{dt}$. - 若距离以某种待定的方式依赖于时间$t$,试用$\cfrac{dr}{dt}$来表示导数$\cfrac{dF}{dt}$.
解答 1.1. - $\cfrac{dF}{dr}=\cfrac{2GMm}{r^3}$.
- $\cfrac{dF}{dt}=\cfrac{dF}{dr}\cdot
\cfrac{dr}{dt}=\cfrac{2000GMm}{r^2}$. - $\cfrac{dF}{dt}=\cfrac{dF}{dr}\cdot \cfrac{dr}{dt}=\cfrac{2GMm}{r^3}\cfrac{dr}{dt}$.
问题 2. 对于常数$u,v$,任意形如$f(x)=u\cos x+v\sin x$的函数都满足方程
$$
f”+f=0.
$$
问上述微分方程是否还有其它的解？
解答 2.1. 令$f'(x)=g(x)$,则
\begin{equation}\label{eq:1}
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}.
\end{equation}
将矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
$$
对角化,可得
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i&0\\
0&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}^{-1}.
$$
令
$$
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{i}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{i}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix},
$$
则
$$
\begin{pmatrix}
p'(x)\\
q'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
i&0\\
0&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix},
$$
即
$$
p'(x)=ip(x),q'(x)=-i q(x),
$$
故
$$
p(x)=te^{ix},q(x)=se^{-ix},
$$
其中$t,s\in \mathbf{C}$.因为
$$
f(x)=p(x)+q(x),
$$
是实函数,
$$
g(x)=i(p(x)-q(x))
$$
也是实函数,所以$\overline{p(x)}=q(x)$,即对于任意的自变量$x$来说,$p(x)$
与$q(x)$是共轭复数.作为共轭复数的和,$f(x)$只能为$u\cos x+v\sin x$的形
式,其中$u,v\in \mathbf{R}$.这是因为,设
$$p(x)=re^{i(x+x_{0})}=r\cos(x+x_0)+ir\sin(x+x_0)$$
其中$r\in\mathbf{R},x_0\in \mathbf{R}$.则$p(x)+\overline{p(x)}=2r\cos(x+x_0)$,从而通过两角和的余弦公式化为$u\cos
x+v\sin x$的形式.
解答 2.2. 再给一个解答.令$f'(x)=g(x)$,则
$$
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
-f(x)
\end{pmatrix},
$$
设向量值函数$\bm{p}(x)=
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}
$,则$\bm{p}'(x)=
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
-f(x)
\end{pmatrix},
$可见对于任意$x\in \mathbf{R}$,向量$\bm{p}(x)$和向量$\bm{p}'(x)$互相垂直.根据物理意义,这提示我们,$\bm{p}^T\bm{p}$是定值,下面验证这一点.令
$$
r(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2,
$$
则对于任意$x\in \mathbf{R}$,
$$
r'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0,
$$
故$r(x)$是常数,记为$c$.这表明,点$
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}
$始终在以原点为圆心,半径为$c$上的圆上运动.故
$$
f(x)=c\cos (\omega x+\phi),
$$
又因为
$$
f”(x)=-c\omega^2\cos(\omega x+\phi)=-f(x)=-c\cos (\omega x+\phi)
$$
恒成立,所以
- 第一种情况,$c=0$.此时$f(x)=0=0\cos x+0\sin x$.
- 当$c\neq 0$时,即
$$
\omega^2\cos(\omega x+\phi)=\cos(\omega x+\phi)
$$
恒成立.因此$\omega=\pm 1$.当$\omega=1$时,
$$
f(x)=c\cos (x+\phi)=(c\cos\phi)\cos x+(-c\sin \phi)\sin x,
$$
当$\omega=-1$时,
$$
f(x)=c\cos (-x+\phi)=c\cos(x-\phi)=(c\cos\phi)\cos x+(c\sin\phi)\sin x.
$$
综上,满足$f”+f=0$的微分方程的解必定是$f(x)=u\cos x+v\sin x$的形式.
问题 3. 对于常数$u,v$,任意形如$f(x)=u\cosh x+v\sinh x$的函数满足方程
$$
f”-f=0.
$$
问上述微分方程是否还有其它的解?
解答 3.1. 令$g(x)=f'(x)$,则
$$
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
f(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}.
$$
令矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},
$$
可得矩阵$A$的谱分解
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}^{-1},
$$
令
$$
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix},
$$
则
$$
\begin{pmatrix}
p'(x)\\
q'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix},
$$
故
$$
p(x)=me^{x},q(x)=ne^{-x},m,n\in \mathbf{R},
$$
因此
$$
f(x)=p(x)+q(x)=me^x+ne^{-x}=(m+n)\cosh x+(m-n)\sinh x.
$$
因此满足微分方程$f”-f=0$的函数不会再有其它形式的解.
问题 4 (
3.53)
. 求下列函数的导数.
- $e^{\arctan x}$.
- $\arctan (5x^2)$.
解答 4.1. - $(e^{\arctan x})’=e^{\arctan x}\frac{1}{1+x^2}$.
- $(\arctan (5x^2))’=\frac{10x}{1+25x^4}$.
问题 5 (3.57). 求满足$y”+y=0$,$y(0)=-2$且$y'(0)=3$的函数$y(x)$.
解答 5.1. 设
$$
y(x)=u\cos x+v\sin x,
$$
则
$$
y(0)=u=-2,
$$
$$
y'(0)=v=3,
$$
即
$$
y(x)=-2\cos x+3\sin x.
$$
问题 6 (3.67). 求满足条件$y”-y=0$,$y(0)=-2$且$y'(0)=-3$的函数$y(x)$.
解答 6.1. 设
$$
y=u\cosh x+v\sinh x,
$$
则
$$
y’=u\sinh x+v\cosh x,
$$
于是,
$$
u=-2,v=-3,
$$
因此
$$
y(x)=-2 \cosh x-3
\sinh x.
$$
问题 7 (3.68). 运用类似定理3.15的方法,证明加法法则
$$
\cosh (x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y),
$$
$$
\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh(x)\sinh(y).
$$
解答 7.1. 对于任意给定的实数$y$,设$f(x)=\cosh (x+y)$.则
$$
\frac{d}{d x}\cosh(x+y)=\sinh (x+y).
$$
可见,
$$
f(0)=\cosh (y),f'(0)=\sinh (y),
$$
因此
$$
\cosh (x+y)=f(0)\cosh(x)+f'(0)\sinh(x)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y).
$$
然后对上式关于$x$求导,可得第二条式子.
问题 8. 确定常数$u,v$,使得
$$
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=u\cos x+v\sin x
$$
成立.
解答 8.1. 令$x=0$,可得$u=0$.然后等式两边求导:
$$
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=-u\sin x+v\cos x,
$$
再令$x=0$,可得$v=1$.
问题 9. 运用例3.38中的方法计算下列级数
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$;
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}$;
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n-1}}$;
解答 9.1. - 当$x\in (-1,1)$时,有
$$
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\frac{x}{1-x},
$$
对两边求导,可得
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2},
$$
即
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{(1-x)^2},
$$
而
$$
\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},
$$
所以
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x},
$$
所以
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=2.
$$ - 当$x\in (-1,1)$时,
$$
\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},
$$
两边求导可得
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2},
$$
再令$x=\frac{1}{2}$,可得
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}=4.
$$ - 我们已知当$x\in (-1,1)$时,
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x},
$$
再求导,可得
$$
\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2},
$$
所以
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n-1}}=12.
$$
近期评论