六月 2019

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该短文写于2015年11月28日,现重新发在这里.

Cauchy中值定理)设$x=x(t)$和$y=y(t)$是在闭区间$[a,b]$上连续,在开区间$(a,b)$上可微的函数.那么存在点$\eta\in (a,b)$,使得 \begin{equation}\label{eq:1} \begin{vmatrix} x'(\eta)&x(b)-x(a)\\
y'(\eta)&y(b)-y(a) \end{vmatrix}=0. \end{equation} 如果对于任意$t\in (a,b)$ 有$x'(t)\neq 0$,则$x(a)\neq x(b)$且成立等式 \begin{equation}\label{eq:2} \frac{y(b)-y(a)}{x(b)-x(a)}=\frac{y'(\eta)}{x'(\eta)}. \end{equation}

证明:首先,我们证明,集合$A=\{((x(t),y(t)):t\in [a,b]\}$是$\mathbf{R}^2$上的闭集.也就是证明集合$A$的任意极限点$P$仍然属于集合$A$,也即证明,若存在$A$中的点列 $$ (x(t_1),y(t_1)),(x(t_2),y(t_2)),\cdots,((x(t_n),y(t_n)),\cdots $$ 使得$\lim_{n\to\infty}((x(t_n),y(t_n))=P$,则有$P\in A$.为此我们只要证明存在$t_0\in [a,b]$,使得$f((x_0,y_0))=P$即可.取集合 $$ \{t_1,t_2,\cdots,t_n,\cdots\} $$ 的一个极限点$t_0$,由于$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭集,因此$t_0\in [a,b]$.由于$x=x(t),y=y(t)$是连续函数,因此$(x(t_0),y(t_0))=\lim_{n\to\infty}((x(t_n),y(t_n))=P$.因此$A$是$\mathbf{R}^2$上的闭集.

考虑闭集合$A$和闭集合$B=\{t(x(a),y(a))+(1-t)(x(b),y(b)):t\in [0,1]\}$.集合$A$上必定存在到集合$B$距离最大的点$F$.若这个最大距离为$0$,则$A=B$,此时$A$就是一条线段,命题肯定成立.否则,$A$上与$B$距离最大的点必定为$(x(\eta),y(\eta))$,其中$\eta\in (a,b)$.

向量$(x'(\eta),y'(\eta))$必与向量$(x(b)-x(a),y(b)-y(a))$共线.否则,$(x(\eta),y(\eta))$不会是与线段$B$距离最大的点.这就有式\eqref{eq:1}成立.

下面我们证明式\eqref{eq:2}.由式\eqref{eq:1},我们其实只用证明当$x'(t)\neq 0$时,$x(a)\neq x(b)$即可.若$x(a)=x(b)$,则结合$x'(t)\neq 0$和式\eqref{eq:1},必有$y(a)=y(b)$,这表明集合$A$是封闭闭曲线,该封闭闭曲线最右端和最左端处,横坐标关于$t$的导数是零,矛盾.因此$x(a)\neq x(b)$.

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问题 1 (3.25). 距离某星球中心为$r$的火箭受到的重力为$F=-\cfrac{GMm}{r^2}$,其中$M,m$
分别为星球和火箭的质量,$G$是一个常数.
  • 求$\cfrac{dF}{dr}$.
  • 若距离$r$按照$r(t)=2000000+1000t$的方式依赖于时间$t$,求重力对时
    间的变化率$\cfrac{dF}{dt}$.
  • 若距离以某种待定的方式依赖于时间$t$,试用$\cfrac{dr}{dt}$来表示导数$\cfrac{dF}{dt}$.

解答 1.1.
  • $\cfrac{dF}{dr}=\cfrac{2GMm}{r^3}$.
  • $\cfrac{dF}{dt}=\cfrac{dF}{dr}\cdot
    \cfrac{dr}{dt}=\cfrac{2000GMm}{r^2}$.
  • $\cfrac{dF}{dt}=\cfrac{dF}{dr}\cdot \cfrac{dr}{dt}=\cfrac{2GMm}{r^3}\cfrac{dr}{dt}$.

问题 2. 对于常数$u,v$,任意形如$f(x)=u\cos x+v\sin x$的函数都满足方程
$$
f”+f=0.
$$
问上述微分方程是否还有其它的解?

解答 2.1. 令$f'(x)=g(x)$,则
\begin{equation}\label{eq:1}
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}.
\end{equation}
将矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}
$$
对角化,可得
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i&0\\
0&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}^{-1}.
$$

$$
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{i}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{i}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{pmatrix}
p'(x)\\
q'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
i&0\\
0&-i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix},
$$

$$
p'(x)=ip(x),q'(x)=-i q(x),
$$

$$
p(x)=te^{ix},q(x)=se^{-ix},
$$
其中$t,s\in \mathbf{C}$.因为
$$
f(x)=p(x)+q(x),
$$
是实函数,
$$
g(x)=i(p(x)-q(x))
$$
也是实函数,所以$\overline{p(x)}=q(x)$,即对于任意的自变量$x$来说,$p(x)$
与$q(x)$是共轭复数.作为共轭复数的和,$f(x)$只能为$u\cos x+v\sin x$的形
式,其中$u,v\in \mathbf{R}$.这是因为,设
$$p(x)=re^{i(x+x_{0})}=r\cos(x+x_0)+ir\sin(x+x_0)$$
其中$r\in\mathbf{R},x_0\in \mathbf{R}$.则$p(x)+\overline{p(x)}=2r\cos(x+x_0)$,从而通过两角和的余弦公式化为$u\cos
x+v\sin x$的形式.

解答 2.2. 再给一个解答.令$f'(x)=g(x)$,则
$$
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
-f(x)
\end{pmatrix},
$$
设向量值函数$\bm{p}(x)=
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}
$,则$\bm{p}'(x)=
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
-f(x)
\end{pmatrix},
$可见对于任意$x\in \mathbf{R}$,向量$\bm{p}(x)$和向量$\bm{p}'(x)$互相垂直.根据物理意义,这提示我们,$\bm{p}^T\bm{p}$是定值,下面验证这一点.令
$$
r(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2,
$$
则对于任意$x\in \mathbf{R}$,
$$
r'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0,
$$
故$r(x)$是常数,记为$c$.这表明,点$
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}
$始终在以原点为圆心,半径为$c$上的圆上运动.故
$$
f(x)=c\cos (\omega x+\phi),
$$
又因为
$$
f”(x)=-c\omega^2\cos(\omega x+\phi)=-f(x)=-c\cos (\omega x+\phi)
$$
恒成立,所以
  • 第一种情况,$c=0$.此时$f(x)=0=0\cos x+0\sin x$.
  • 当$c\neq 0$时,即
    $$
    \omega^2\cos(\omega x+\phi)=\cos(\omega x+\phi)
    $$
    恒成立.因此$\omega=\pm 1$.当$\omega=1$时,
    $$
    f(x)=c\cos (x+\phi)=(c\cos\phi)\cos x+(-c\sin \phi)\sin x,
    $$
    当$\omega=-1$时,
    $$
    f(x)=c\cos (-x+\phi)=c\cos(x-\phi)=(c\cos\phi)\cos x+(c\sin\phi)\sin x.
    $$
综上,满足$f”+f=0$的微分方程的解必定是$f(x)=u\cos x+v\sin x$的形式.

问题 3. 对于常数$u,v$,任意形如$f(x)=u\cosh x+v\sinh x$的函数满足方程
$$
f”-f=0.
$$
问上述微分方程是否还有其它的解?

解答 3.1. 令$g(x)=f'(x)$,则
$$
\begin{pmatrix}
f'(x)\\
g'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
g(x)\\
f(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}.
$$
令矩阵
$$
A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},
$$
可得矩阵$A$的谱分解
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}^{-1},
$$

$$
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(x)\\
g(x)
\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{pmatrix}
p'(x)\\
q'(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p(x)\\
q(x)
\end{pmatrix},
$$

$$
p(x)=me^{x},q(x)=ne^{-x},m,n\in \mathbf{R},
$$
因此
$$
f(x)=p(x)+q(x)=me^x+ne^{-x}=(m+n)\cosh x+(m-n)\sinh x.
$$
因此满足微分方程$f”-f=0$的函数不会再有其它形式的解.

问题 4 (3.53). 求下列函数的导数.
  • $e^{\arctan x}$.
  • $\arctan (5x^2)$.

解答 4.1.
  • $(e^{\arctan x})’=e^{\arctan x}\frac{1}{1+x^2}$.
  • $(\arctan (5x^2))’=\frac{10x}{1+25x^4}$.

问题 5 (3.57). 求满足$y”+y=0$,$y(0)=-2$且$y'(0)=3$的函数$y(x)$.

解答 5.1.
$$
y(x)=u\cos x+v\sin x,
$$

$$
y(0)=u=-2,
$$
$$
y'(0)=v=3,
$$

$$
y(x)=-2\cos x+3\sin x.
$$

问题 6 (3.67). 求满足条件$y”-y=0$,$y(0)=-2$且$y'(0)=-3$的函数$y(x)$.

解答 6.1.
$$
y=u\cosh x+v\sinh x,
$$

$$
y’=u\sinh x+v\cosh x,
$$
于是,
$$
u=-2,v=-3,
$$
因此
$$
y(x)=-2 \cosh x-3
\sinh x.
$$

问题 7 (3.68). 运用类似定理3.15的方法,证明加法法则
$$
\cosh (x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y),
$$
$$
\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh(x)\sinh(y).
$$

解答 7.1. 对于任意给定的实数$y$,设$f(x)=\cosh (x+y)$.则
$$
\frac{d}{d x}\cosh(x+y)=\sinh (x+y).
$$
可见,
$$
f(0)=\cosh (y),f'(0)=\sinh (y),
$$
因此
$$
\cosh (x+y)=f(0)\cosh(x)+f'(0)\sinh(x)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y).
$$
然后对上式关于$x$求导,可得第二条式子.

问题 8. 确定常数$u,v$,使得
$$
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=u\cos x+v\sin x
$$
成立.

解答 8.1. 令$x=0$,可得$u=0$.然后等式两边求导:
$$
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=-u\sin x+v\cos x,
$$
再令$x=0$,可得$v=1$.

问题 9. 运用例3.38中的方法计算下列级数
  • $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$;
  • $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}$;
  • $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n-1}}$;

解答 9.1.
  • 当$x\in (-1,1)$时,有
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\frac{x}{1-x},
    $$
    对两边求导,可得
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2},
    $$

    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{(1-x)^2},
    $$

    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},
    $$
    所以
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x},
    $$
    所以
    $$
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=2.
    $$
  • 当$x\in (-1,1)$时,
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},
    $$
    两边求导可得
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2},
    $$
    再令$x=\frac{1}{2}$,可得
    $$
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}=4.
    $$
  • 我们已知当$x\in (-1,1)$时,
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x},
    $$
    再求导,可得
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}n^2x^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2},
    $$
    所以
    $$
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n-1}}=12.
    $$

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人是首先认识了世界上的物体,之后才对空间产生直观感觉。假若世界上根本没有任何物体,只有观察之眼,则人将失去空间感觉。此时,若有人提出空间概念,则众人不知空间为何物,觉得那人在胡说一些无所谓之话。凡人都如此,先有直观的感觉,才会心安理得地接受一个概念,认为那个概念是可接受的。

而人对世界上的物体的认识基于两点,其一是人对物体的色觉。色觉的本质是,作为电磁波的光对人的眼睛产生刺激,这种刺激由神经传导到大脑里,再由大脑进行处理,而产生的一种主观感觉。其二是人对物体的触觉。触觉的本质是,物体中的粒子和身体表面的粒子发生了电磁相互作用,这种作用产生的刺激由神经传导到大脑里,再由大脑进行处理,而产生的一种主观感觉。可见,人对世界上的物体的认识基于主观感觉。

所以,人对空间的认识,只不过是人对物体认识的附属之物,即人的主观感觉的一个附属之物。

凡是主观感觉,都有不可靠的因素在内。一个问题是,为什么现在大家对空间的感觉都出乎一致地统一呢?唯一的解释是,绝大多数的健全正常人的眼睛和大脑的构造都基本相同。

啥也不多说了,这题第一小题做了我两分钟,第二小题做了我两天.题目如下:

题目:已知实数$a\neq 0$,设函数$f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$,$x>0$.


  • 当$a=-\frac{3}{4}$时,求函数$f(x)$的单调区间;
  • 若对任意$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$,均有$f(x)\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}$,求实数$a$的取值范围.

(1):当$a=-\frac{3}{4}$时,
$$
f(x)=-\frac{3}{4}\ln x+\sqrt{x+1}(x>0),
$$

$$
f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}-\frac{3}{4x}
$$
令$f'(x)>0$,解得$x>3$.令$f'(x)<0$,解得$0<x<3$.故$f(x)$在区间$(0,3)$上单调递减,在区间$[3,+\infty)$上单调递增.

(2):即
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.首先,必有$a>0$.这是因为,假如$a<0$,则
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}<0,
$$
当$x\to +\infty$时,上面的不等式不成立.故$a>0$.将不等式
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
两边同乘以正数$a$,整理为关于$a$的不等式
\begin{equation}\label{eq:201906091306}
(2\ln x)a^2+2 \sqrt{x+1}a-\sqrt{x}\leq 0.
\end{equation}
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.


  • 当$x=1$时,不等式\eqref{eq:201906091306}即$a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$;
  • 当$x>1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
    $$
    0< a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x }-\sqrt{x+1}}{2\ln
    x}
    $$
  • 当$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
    \begin{equation}\label{eq:201906082138}
    0<a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln x}
    \end{equation}

    \begin{equation}\label{eq:201906082140}
    a\geq \frac{-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
    x}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}.
    \end{equation}
    对于不等式\eqref{eq:201906082140}来说,因为
    $$
    \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}=+\infty,
    $$
    所以对任意的$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$,使得不等式\eqref{eq:201906082140}恒成立的实数$a$不存在.因此不等式\eqref{eq:201906082140}的情况排除.于是在此种情形,只需考虑不等式\eqref{eq:201906082138}.

下证

当$x\neq 1$时,恒有
\begin{align*}
g(x)&=\frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
x}\\&=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}\ln x}+\sqrt{x+1}}
\\&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}
\\&>\frac{\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

即证
$$
\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln
x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}<\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2},
$$
令$t=\frac{1}{x}$,只需证明对于任意的$t\neq 1$,
$$
p(t)=\sqrt{1+t}+\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}
$$
即可.只需要证明当$t\neq 1$时,
\begin{equation}\label{eq:201906101515}
\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}-\sqrt{1+t},
\end{equation}

由$1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0$,得$0<t\leq 7$.这是因为,由$x\geq\frac{1}{e^2}$可得$0<t\leq e^{2}$,故
$$
1+e^2-2 \sqrt{t}\ln t\geq 1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0,
$$

$$
\sqrt{t}\ln t \leq \frac{1+e^2}{2},
$$
构造函数
$$
u(t)=\sqrt{t}\ln t,
$$
可得
$$
u'(t)=\frac{2+\ln t}{2 \sqrt{t}},
$$
在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上,$u'(t)>0$,故函数$u(t)$在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上单调递增.且$u(7)= \sqrt{7}\ln 7>\frac{1+e^2}{2}$,故只可能有$t\leq 7$.


所以$2\sqrt{2}-\sqrt{1+t}>0$.不等式\eqref{eq:201906101515}两边平方,整理,即证明当$t\neq 1$时,
$$
\sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4>0.
$$
为此,构造函数
$$
p(t)= \sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4,
$$
可得
$$
p'(t)=\frac{\ln t-(2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}-2)}{2 \sqrt{t}}
$$
构造函数
$$
q(t)=\ln t-2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}+2,
$$
求导并整理可得
$$
q'(t)=\frac{(t+1)^3-2t}{t \sqrt{(t+1)^{3}}\left[\sqrt{(t+1)^{3}}+\sqrt{2t}\right]},
$$
当$t>0$时,$(t+1)^3>(t+1)^2> 2t$,因此$q'(t)>0$.结合$q(1)=0$,可得


  • 当$t>1$时,$q(t)>0$;
  • 当$0<t<1$时,$q(t)<0$.

也即,

  • 当$t>1$时,$p'(t)>0$;
  • 当$0<t<1$时,$p'(t)<0$.

结合$p(1)=0$,可得函数$p(t)$在$t=1$处取得最小值$0$,在$t\neq 1$时始终大于$0$.这样就完成了证明.$\Box$

综上所述,$0<a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$.

真正的差生不仅不知道如何学习,也不知道如何正确提问。反之,真正的好学生不仅知道如何正确学习,还知道如何正确提问。学问两字,问占了一半。

提问之前最起码的要求是自己先做足功课。

  • 课本上可以直接查阅到的知识、定理、公式不要问。基本技能和基本题目最好也不要直接问,而是先阅读课本,把最基本的先掌握。掌握这些知识并不难,否则你也不会在这里。如果不小心问了这样的问题,老师指出相应的知识点在哪一章哪一节有的时候,你要马上自己去查阅,然后弄清。
  • 提问之前,先解释自己的想法,对于数学来说,最好以文字语言先把想法写出来。这样别人才可以发现你的思维盲点或者误区在哪里。比如,如果是一道题目做出来和答案对不上,请先把自己的解法详细地、有条理地写出来,然后检查一下,通过这样的过程,往往自己就能查出问题所在,十之八九的问题可以通过这样的方式由自己解决。我接触过不少学生,来问我问题,结果是他自己计算有误(往往还是小学级别的计算错误),这说明他没做好这个步骤。如果这样之后还是无法发现问题所在,可以把自己的解法交给老师看,老师往往能一眼看出你的问题所在,如此你的印象也会更深刻,收获也会更大。
  • 如果不是题目解出来和答案对不上,而是对题目没有思路,那也请先说明自己的思路是什么,哪怕只有一点点思路。彻底没有思路是不太可能的,只有两种情况下才会彻底没思路:1.这道题彻底地超出了你的水平和视野,那这道题其实不适合你,你来问了也没用。2.偷懒,没去思考。有了一点思路之后,反思一下,自己有没有将这种思路贯彻下去呢?向别人解释清楚自己的思路之后,别人才可以决定是否可以将你的思路延伸下去,或者指出你的思路是行不通的,需要换一条正确的思路。
  • 经常碰到这样的情况,一道题,学生其实是有思路的,而且就是通常的那种思路,只是他没有将思路贯彻到底,持之以恒地做下去。然后把这道题拿来问我,我也会建议他继续按照通常思路把题目做下去,这个时候,他往往会嫌弃这种方法太麻烦不愿继续做,反而问我,有没有简便解法呢?这其实是变相偷懒。数学从来都是先有麻烦解法,然后才通过反思找到捷径的,问题都没解决,你要什么捷径?在这种情况下,我还是会建议你先尝试尽可能地寻求解决问题,哪怕麻烦一点也没事。不要老是想着什么事情会有捷径老老实实给我按部就班做下去,多数问题不会太麻烦的!
  • 不要以为我会像保姆一样把每一步都跟你解释清楚,连计算都要靠我。从来都是点到为止。我不是你保姆。绝大部分书写和补充的工作还是需要你自己来完成,否则岂不是变成我做作业了?

通过以上步骤,十之八九的问题通过自己就消化解决了。剩下来的才是不得不向别人或老师问的问题。事实上,在我读中学的时候,就很少向数学老师提问,因为在提问之前自己都先做足了功课,从而问题在向别人提出之前就被自己解决了。怎么提问本质上关乎一个人的学习态度,希望引起大家警戒。