六月 2019

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人是首先认识了世界上的物体,之后才对空间产生直观感觉。假若世界上根本没有任何物体,只有观察之眼,则人将失去空间感觉。此时,若有人提出空间概念,则众人不知空间为何物,觉得那人在胡说一些无所谓之话。凡人都如此,先有直观的感觉,才会心安理得地接受一个概念,认为那个概念是可接受的。

而人对世界上的物体的认识基于两点,其一是人对物体的色觉。色觉的本质是,作为电磁波的光对人的眼睛产生刺激,这种刺激由神经传导到大脑里,再由大脑进行处理,而产生的一种主观感觉。其二是人对物体的触觉。触觉的本质是,物体中的粒子和身体表面的粒子发生了电磁相互作用,这种作用产生的刺激由神经传导到大脑里,再由大脑进行处理,而产生的一种主观感觉。可见,人对世界上的物体的认识基于主观感觉。

所以,人对空间的认识,只不过是人对物体认识的附属之物,即人的主观感觉的一个附属之物。

凡是主观感觉,都有不可靠的因素在内。一个问题是,为什么现在大家对空间的感觉都出乎一致地统一呢?唯一的解释是,绝大多数的健全正常人的眼睛和大脑的构造都基本相同。

啥也不多说了,这题第一小题做了我两分钟,第二小题做了我两天.题目如下:

题目:已知实数$a\neq 0$,设函数$f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$,$x>0$.


  • 当$a=-\frac{3}{4}$时,求函数$f(x)$的单调区间;
  • 若对任意$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$,均有$f(x)\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}$,求实数$a$的取值范围.

(1):当$a=-\frac{3}{4}$时,
$$
f(x)=-\frac{3}{4}\ln x+\sqrt{x+1}(x>0),
$$

$$
f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}-\frac{3}{4x}
$$
令$f'(x)>0$,解得$x>3$.令$f'(x)<0$,解得$0<x<3$.故$f(x)$在区间$(0,3)$上单调递减,在区间$[3,+\infty)$上单调递增.

(2):即
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.首先,必有$a>0$.这是因为,假如$a<0$,则
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}<0,
$$
当$x\to +\infty$时,上面的不等式不成立.故$a>0$.将不等式
$$
a\ln x+\sqrt{x+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{2a}
$$
两边同乘以正数$a$,整理为关于$a$的不等式
\begin{equation}\label{eq:201906091306}
(2\ln x)a^2+2 \sqrt{x+1}a-\sqrt{x}\leq 0.
\end{equation}
对于$x\in [\frac{1}{e^2},+\infty)$恒成立.


  • 当$x=1$时,不等式\eqref{eq:201906091306}即$a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$;
  • 当$x>1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
    $$
    0< a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x }-\sqrt{x+1}}{2\ln
    x}
    $$
  • 当$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$时,解不等式\eqref{eq:201906091306}可得
    \begin{equation}\label{eq:201906082138}
    0<a\leq \frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln x}
    \end{equation}

    \begin{equation}\label{eq:201906082140}
    a\geq \frac{-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
    x}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}.
    \end{equation}
    对于不等式\eqref{eq:201906082140}来说,因为
    $$
    \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}}=+\infty,
    $$
    所以对任意的$\frac{1}{e^{2}}\leq x<1$,使得不等式\eqref{eq:201906082140}恒成立的实数$a$不存在.因此不等式\eqref{eq:201906082140}的情况排除.于是在此种情形,只需考虑不等式\eqref{eq:201906082138}.

下证

当$x\neq 1$时,恒有
\begin{align*}
g(x)&=\frac{\sqrt{(x+1)+2 \sqrt{x}\ln x}-\sqrt{x+1}}{2\ln
x}\\&=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1+2 \sqrt{x}\ln x}+\sqrt{x+1}}
\\&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}
\\&>\frac{\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

即证
$$
\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2\ln
x}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}<\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2},
$$
令$t=\frac{1}{x}$,只需证明对于任意的$t\neq 1$,
$$
p(t)=\sqrt{1+t}+\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}
$$
即可.只需要证明当$t\neq 1$时,
\begin{equation}\label{eq:201906101515}
\sqrt{1+t-2 \sqrt{t}\ln t}<2 \sqrt{2}-\sqrt{1+t},
\end{equation}

由$1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0$,得$0<t\leq 7$.这是因为,由$x\geq\frac{1}{e^2}$可得$0<t\leq e^{2}$,故
$$
1+e^2-2 \sqrt{t}\ln t\geq 1+t-2 \sqrt{t}\ln t\geq 0,
$$

$$
\sqrt{t}\ln t \leq \frac{1+e^2}{2},
$$
构造函数
$$
u(t)=\sqrt{t}\ln t,
$$
可得
$$
u'(t)=\frac{2+\ln t}{2 \sqrt{t}},
$$
在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上,$u'(t)>0$,故函数$u(t)$在区间$(\frac{1}{e^2},+\infty)$上单调递增.且$u(7)= \sqrt{7}\ln 7>\frac{1+e^2}{2}$,故只可能有$t\leq 7$.


所以$2\sqrt{2}-\sqrt{1+t}>0$.不等式\eqref{eq:201906101515}两边平方,整理,即证明当$t\neq 1$时,
$$
\sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4>0.
$$
为此,构造函数
$$
p(t)= \sqrt{t}\ln t-2 \sqrt{2} \sqrt{1+t}+4,
$$
可得
$$
p'(t)=\frac{\ln t-(2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}-2)}{2 \sqrt{t}}
$$
构造函数
$$
q(t)=\ln t-2 \sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{t+1}}+2,
$$
求导并整理可得
$$
q'(t)=\frac{(t+1)^3-2t}{t \sqrt{(t+1)^{3}}\left[\sqrt{(t+1)^{3}}+\sqrt{2t}\right]},
$$
当$t>0$时,$(t+1)^3>(t+1)^2> 2t$,因此$q'(t)>0$.结合$q(1)=0$,可得


  • 当$t>1$时,$q(t)>0$;
  • 当$0<t<1$时,$q(t)<0$.

也即,

  • 当$t>1$时,$p'(t)>0$;
  • 当$0<t<1$时,$p'(t)<0$.

结合$p(1)=0$,可得函数$p(t)$在$t=1$处取得最小值$0$,在$t\neq 1$时始终大于$0$.这样就完成了证明.$\Box$

综上所述,$0<a\leq \frac{\sqrt{2}}{4}$.

真正的差生不仅不知道如何学习,也不知道如何正确提问。反之,真正的好学生不仅知道如何正确学习,还知道如何正确提问。学问两字,问占了一半。

提问之前最起码的要求是自己先做足功课。

  • 课本上可以直接查阅到的知识、定理、公式不要问。基本技能和基本题目最好也不要直接问,而是先阅读课本,把最基本的先掌握。掌握这些知识并不难,否则你也不会在这里。如果不小心问了这样的问题,老师指出相应的知识点在哪一章哪一节有的时候,你要马上自己去查阅,然后弄清。
  • 提问之前,先解释自己的想法,对于数学来说,最好以文字语言先把想法写出来。这样别人才可以发现你的思维盲点或者误区在哪里。比如,如果是一道题目做出来和答案对不上,请先把自己的解法详细地、有条理地写出来,然后检查一下,通过这样的过程,往往自己就能查出问题所在,十之八九的问题可以通过这样的方式由自己解决。我接触过不少学生,来问我问题,结果是他自己计算有误(往往还是小学级别的计算错误),这说明他没做好这个步骤。如果这样之后还是无法发现问题所在,可以把自己的解法交给老师看,老师往往能一眼看出你的问题所在,如此你的印象也会更深刻,收获也会更大。
  • 如果不是题目解出来和答案对不上,而是对题目没有思路,那也请先说明自己的思路是什么,哪怕只有一点点思路。彻底没有思路是不太可能的,只有两种情况下才会彻底没思路:1.这道题彻底地超出了你的水平和视野,那这道题其实不适合你,你来问了也没用。2.偷懒,没去思考。有了一点思路之后,反思一下,自己有没有将这种思路贯彻下去呢?向别人解释清楚自己的思路之后,别人才可以决定是否可以将你的思路延伸下去,或者指出你的思路是行不通的,需要换一条正确的思路。
  • 经常碰到这样的情况,一道题,学生其实是有思路的,而且就是通常的那种思路,只是他没有将思路贯彻到底,持之以恒地做下去。然后把这道题拿来问我,我也会建议他继续按照通常思路把题目做下去,这个时候,他往往会嫌弃这种方法太麻烦不愿继续做,反而问我,有没有简便解法呢?这其实是变相偷懒。数学从来都是先有麻烦解法,然后才通过反思找到捷径的,问题都没解决,你要什么捷径?在这种情况下,我还是会建议你先尝试尽可能地寻求解决问题,哪怕麻烦一点也没事。不要老是想着什么事情会有捷径老老实实给我按部就班做下去,多数问题不会太麻烦的!
  • 不要以为我会像保姆一样把每一步都跟你解释清楚,连计算都要靠我。从来都是点到为止。我不是你保姆。绝大部分书写和补充的工作还是需要你自己来完成,否则岂不是变成我做作业了?

通过以上步骤,十之八九的问题通过自己就消化解决了。剩下来的才是不得不向别人或老师问的问题。事实上,在我读中学的时候,就很少向数学老师提问,因为在提问之前自己都先做足了功课,从而问题在向别人提出之前就被自己解决了。怎么提问本质上关乎一个人的学习态度,希望引起大家警戒。