Peter Lax《微积分及其应用》定理4.12:关于牛顿二项式定理的一个注记

在Peter Lax《微积分及其应用》中,定理4.12(牛顿二项式定理)如下:

若$a$是任意实数且$|x|<1$,那么 $$ (1+x)^{a}=\sum_{k=0}^{\infty}{l\choose k}x^k, $$ 其中广义二项式系数定义为 $$ {l\choose 0}=1,{l\choose k}=\frac{l(l-1)\cdots (l-k+1)}{k!}(k>0).
$$

作者接下来证明了二项式定理.不过现在我给出一种与作者不同的证明方法,该方法基于该书在前面提到过的考察泰勒公式的余项.


证明:令$f(x)=(1+x)^{a}$,则
$$
\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)=a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)(1+x)^{a-n}.
$$
则由泰勒定理,存在介于$x$和$0$之间(包括端点)的实数$c$,使得
\begin{align*} f(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{f”(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}c^n\\&=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots (a-n+2)}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}c^{n} \end{align*}
下证
$$
\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}c^n \right|= 0,
$$
因为
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a-n+1}{n} c\right|=|c|<1, $$ 所以存在足够大的正整数$N$,使得对于任意$n>N$,都有
$$
\left| \frac{a-n+1}{n}c \right|<|c|+\epsilon,
$$
其中$\epsilon$是一个常数,且$\epsilon<1-|c|$.故
\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}c^n \right|&=\lim_{M\to\infty}\left(\prod_{i=1}^N \left| \frac{a-i+1}{i}c \right|\prod_{i=N+1}^{M} \left| \frac{a-i+1}{i}c \right|\right)\\&\leq \lim_{M\to\infty}\prod_{i=1}^N \left| \frac{a-i+1}{i}c\right|(|c|+\epsilon)^{M-N}\\&=0. \end{align*}
结合
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}c^n
\right|\geq 0
$$
可得
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!} \right|=0.
$$
且由比值判别法,级数
$$
1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}x^n+\cdots
$$
收敛,因此二项式定理成立.

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