关于e的一个极限的积分证明

本文原写于2015年3月27日.现在重新整理在此.

在这里我们用不同于通常书上的方法来证明极限 \begin{equation} \label{eq:1} \lim_{n\to\infty}(1+\frac{r}{n})^n. \end{equation} 存在.我们来看初值问题 \begin{equation}\label{eq:2}\frac{dy}{dx}=y,x=0时,y=1\end{equation} 我们证明极限\eqref{eq:1}存在的方案是对初值问题\eqref{eq:2}使用Euler折线法.初值问题\eqref{eq:2}存在一个唯一解.解一阶线性微分方程\eqref{eq:2},可得其唯一解为 \begin{equation}\label{eq:3} x=\int_1^y \frac{1}{t}dt, \end{equation} 其中 $y>0$.我们来看区间 $$ I=\begin{cases} [0,r],当r>0时,\\
[r,0],当r<0时 \end{cases} $$ 对初值问题\eqref{eq:2}运用Euler折线法,可得在$xy$平面直角坐标系里,当对$x$轴上的区间$I$进行$n$等分时,会在$xy$平面直角坐标系上得到一条折线,折线是$x$和$y_n$之间的函数关系的图像.折线在$x=r$处,$y_{n}$的值为$(1+\frac{r}{n})^n$.为了证明极限\eqref{eq:1}存在,我们证明如下结论即可:

极限$\lim_{n\to\infty}y_n$存在,并且其值等于积分方程\eqref{eq:3}中当$x=r$时$y$的值.

为此,我们要把Euler折线法和Riemann积分理论结合在一起.我们来构造与上述Euler折线法相应的Riemann积分中的分割.

图1

如图1所示,在图1中横轴是$t$轴,纵轴是$s$轴.曲线是函数 $s=\frac{1}{t}$的图像.双曲线与直线$t=1,t=p$($p$还没确定)以及$t$轴所围成的曲边图形的面积为$x$.其中当$t>1$时,规定曲边图形的面积$x$为正,当$t\in (0,1)$时,规定曲边图形的面积$x$为负,当$t=0$时,规定曲边图形的面积$x$为$0$.这里的$x$跟积分方程\eqref{eq:3}中的$x$是同一个$x$,$t$跟积分方程\eqref{eq:3}中的$t$是同一个$t$.而且我们将区间$[1,p]$(或$[p,1]$)进行分割,使得各个矩形的面积相等.其中矩形的构造方法是:当$p>1$时,矩形$[p_{t},q_{t}]\times [p_s,q_s]$的高取值为$\frac{1}{p_t}$;当$p<1$时,矩形$[p_{t},q_{t}]\times [p_s,q_s]$的高取值为$\frac{1}{q_t}$.其中$[p_t,q_t]$为$t$轴上的区间,$[p_s,q_s]$为$s$轴上的区间,$\times$是笛卡尔积.而且要注意的是,这里各个矩形的面积也有正负,其符号和曲边图形的面积符号相同.这样构造的分割,和Euler折线法里将$x$轴上的区间$[0,r]$进行等分对应.

根据Riemann积分的相关理论,在曲边图形的面积保持$r$不变,同时当各个面积相等的矩形,它们的面积越来越无限接近于$0$时(自然,要满足这个要求,面积相等的矩形只能是越来越多),$p$的值会越来越无限趋近于一个定值.这个定值就是$\lim_{n\to\infty}y_n$.

这样就用Riemann积分的理论证明了极限\eqref{eq:1}确实是存在的.


更新(2015.7.18):增加了文章的可读性,添加了严格的证明.但是为了简洁而删去了Euler折线法这个动机.见该PDF链接.该PDF文档的源文件在这里.

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