带Peano余项的Taylor公式

本文原写于2015年11月24日,现重新整理如下.

带Peano余项的Taylor公式:

若函数$f$在点$x_0$存在直至$n$阶导数,则有 $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n). $$

下面我们采用积分的方法来证明该公式.为此,我们只证明$n=3$的特殊情形,一般情形完全可以类推.

若函数$f$在点$x_0$存在直至$3$阶导数,则有 \begin{equation}\label{eq:1} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+o((x-x_0)^3). \end{equation}

证明:由于$f$在$x_0$处$3$阶可导,因此 \begin{equation}\label{eq:2} f^{(2)}(x)=f^{(2)}(x_0)+f^{(3)}(x_0)(x-x_0)+o_{1}(x-x_0), \end{equation} 将\eqref{eq:2}两边从$x_0$到$x$进行积分,可得 \begin{equation} \label{eq:3} \int_{x_0}^xf^{(2)}(t)dt=f^{(2)}(x_{0})(x-x_0)+\frac{1}{2}f^{(3)}(x_{0})(x-x_0)^{2}+\int_{x_0}^xo_1(t-x_0)dt. \end{equation} 由微积分第一基本定理,\eqref{eq:3}可以化为 $$ f'(x)-f'(x_0)=f^{(2)}(x_{0})(x-x_0)+\frac{1}{2}f^{(3)}(x_{0})(x-x_0)^{2}+\int_{x_0}^xo_1(t-x_0)dt, $$ 也即, \begin{equation} \label{eq:4} f'(x)=f'(x_{0})+f^{(2)}(x_{0})(x-x_0)+\frac{1}{2}f^{(3)}(x_{0})(x-x_0)^{2}+\int_{x_0}^xo_1(t-x_0)dt, \end{equation} 其中$\int_{x_0}^xo_1(t-x_0)dt$至少是关于$x-x_0$的二阶无穷小量,这是因为由L’Hospital法则, $$ \lim_{x\to x_0}\frac{\int_{x_0}^x o_1(t-x_0)dt}{(x-x_0)^{2}}=\lim_{x\to x_0}\frac{o_1(x-x_0)}{2(x-x_0)}=0. $$ 再将式\eqref{eq:4}两边积分,可得 \begin{equation} \label{eq:5} \int_{x_0}^xf'(t)dt=f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2f^{(2)}(x_0)+\frac{1}{6}(x-x_0)^3f^{(3)}(x_0)+\int_{x_{0}}^{x}\int_{x_0}^po_1(t-x_0)dtdp, \end{equation} 由微积分第一基本定理,式\eqref{eq:5}可以写为 $$ f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2f^{(2)}(x_0)+\frac{1}{6}(x-x_0)^3f^{(3)}(x_0)+\int_{x_{0}}^{x}\int_{x_0}^po_1(t-x_0)dtdp, $$ 即 $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2f^{(2)}(x_0)+\frac{1}{6}(x-x_0)^3f^{(3)}(x_0)+\int_{x_{0}}^{x}\int_{x_0}^po_1(t-x_0)dtdp. $$ 其中$\int_{x_{0}}^{x}\int_{x_0}^po_1(t-x_0)dtdp$至少是关于$x-x_0$的三阶无穷小量,这是因为由L’Hospital法则, $$ \lim_{x\to x_0}\frac{\int_{x_{0}}^{x}\int_{x_0}^po_1(t-x_0)dtdp}{(x-x_0)^3}=\lim_{x\to x_0}\frac{\int_{x_0}^xo_1(t-x_0)dt}{3(x-x_0)^2}=\lim_{x\to x_0}\frac{o_1(x-x_0)}{6(x-x_0)}=0. $$

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