$\sum_{3\leq n\leq \xi}\log\log n$的渐进式

我们来解答华罗庚《高等数学引论》第一册第十章中关于“面积原理”的三道习题.主要是问题2,这个问题要我们研究$\sum_{3\leq n\leq \xi}\log\log n$的渐进表达式.

问题 1. 设$\xi$是整数,求证当$\lambda\geq 1$时,存在$c
$,使
$$
\sum_{1\leq n\leq\xi}n^{\lambda}=\frac{\xi^{\lambda+1}}{\lambda+1}+c\xi^{\lambda}+O(\xi^{\lambda-1}).
$$

解答 1.1. 令$f(x)=x^{\lambda}$.则
$$
\int_1^{\xi}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{1+\lambda}\xi^{1+\lambda}-\frac{1}{1+\lambda}.
$$
则由本节定理1,可得
$$
\sum_{1\leq n\leq \xi-1}n^{\lambda}<\int_{1}^{\xi}f(x)\mathrm{d}x<\sum_{2\leq n\leq \xi}n^{\lambda}, $$ 即 $$ \left(\sum_{1\leq n\leq \xi}\xi^{\lambda}\right)-\xi^{\lambda}<\frac{1}{1+\lambda}\xi^{1+\lambda}-\frac{1}{1+\lambda}<\sum_{1\leq n\leq \xi}n^{\lambda}-1, $$ 即 $$ \frac{1}{1+\lambda}\xi^{1+\lambda}+\frac{\lambda}{1+\lambda}<\sum_{1\leq n\leq \xi}n^{\lambda}<\frac{1}{1+\lambda}\xi^{1+\lambda}+\xi^{\lambda}-\frac{1}{1+\lambda}, $$ 所以命题成立.
问题 2. 对于正整数$\xi$,研究和 $$ \sum_{3\leq n\leq\xi}\log\log n. $$
解答 2.1. \begin{align*} \int \log\log x\mathrm{d}x&=\int 1\cdot \log\log x\mathrm{d}x \\&=x\log\log x-\int \frac{1}{\log x}\mathrm{d}x \\&=x\log\log x-\left( \frac{x}{\log x}+\int \frac{1}{(\log x)^2}\mathrm{d}x\right) \\&=x\log\log x-\frac{x}{\log x}-\int \frac{1}{(\log x)^2}\mathrm{d}x \end{align*} 由L’Hospital法则, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\int \frac{1}{(\log x)^2}\mathrm{d}x}{\displaystyle\frac{x}{\log x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{(\log x)^{2}}}{\frac{\log x-1}{(\log x)^{2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\log x-1}=0, $$ 故 $$ \int \log\log x\mathrm{d}x \sim x\log\log x-\frac{x}{\log x}, $$ 故 $$ \int_3^{\xi}\log\log x\mathrm{d}x\sim \xi\log\log\xi-\frac{\xi}{\log\xi}. $$ 而 $$ \sum_{3\leq n\leq \xi-1}\log\log n<\int_3^{\xi}\log\log x\mathrm{d}x<\sum_{4\leq n\leq \xi}\log\log n, $$ 即 $$ \left(\sum_{3\leq n\leq \xi}\log\log n\right)-\log\log\xi<\int_3^{\xi}\log\log x\mathrm{d}x<\left( \sum_{3\leq n\leq\xi}\log\log n \right)-\log\log 3, $$ 可见, $$ \int_{3}^{\xi}\log\log x\mathrm{d}x+\log\log 3<\sum_{3\leq n\leq \xi}\log\log n<\int_3^{\xi}\log\log x\mathrm{d}x+\log\log\xi, $$ 于是 $$ \sum_{3\leq n\leq \xi}\log\log n\sim \xi\log\log\xi-\frac{\xi}{\log\xi}. $$
问题 3. 研究级数 $$ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\log n(\log\log n)^{\alpha}} $$ 何时收敛何时发散.
解答 3.1. 令$t=\log x$,则$\mathrm{d}t/\mathrm{d}x=1/x$,则 $$ \int \frac{1}{x\log x(\log\log x)^{\alpha}}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{t(\log t)^{\alpha}}\mathrm{d}t, $$ 再令$z=\log t$,则$\mathrm{d}z/\mathrm{d}t=1/t$,则
  • 当$\alpha\neq 1$时, $$ \int \frac{1}{t(\log t)^{\alpha}}\mathrm{d}t=\int \frac{1}{z^{\alpha}}\mathrm{d}z=\frac{1}{1-\alpha}z^{-\alpha+1}+C. $$ 此时 $$ \int \frac{1}{x\log x(\log \log x)^{\alpha}}\mathrm{d}x=\frac{1}{1-\alpha}(\log \log x)^{-\alpha+1}+C. $$
  • 当$\alpha=1$时, $$ \int \frac{1}{t(\log t)^{\alpha}}\mathrm{d}t=\int \frac{1}{z}\mathrm{d}z=\log z+C, $$ 此时 $$ \int \frac{1}{x\log x(\log\log x)^{\alpha}}\mathrm{d}x=\log \log \log x+C. $$
因此当$\alpha\leq 1$时,级数发散.当$\alpha>1$时,级数收敛.

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