Euler求和公式的证明

华罗庚《高等数学引论》第一册第十章第14节“Euler求和公式及Euler函数”中的定理1如下:

定理 1. 命$\phi(x)$是有限闭区间$[a,b]$内有连续微商的函数,则
\begin{align*}
\sum_{a<n\leq b}\phi(n)&=\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b \left( x-[x]-\frac{1}{2} \right)\phi'(x)\mathrm{d}x\\&+\left( a-[a]-\frac{1}{2} \right)\phi(a)-\left( b-[b]-\frac{1}{2} \right)\phi(b),
\end{align*}
此处$[\xi]$代表实数$\xi$的整数部分.

我们先仅考虑该定理的一个重要的特殊情形,即$a,b$都是整数的情形.此时,定理可以化简如下:

定理 2. 命$\phi(x)$是有限闭区间$[a,b]$内有连续微商的函数,其中$a,b$是整数.则
$$
\sum_{a<n\leq b}\phi(n)=\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x,
$$
其中$[\xi]$代表实数$\xi$的整数部分.

证明 . \begin{align*} \int_a^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x&=\sum_{n=a}^{b-1}\int_n^{n+1}(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x \\&=\sum_{n=a}^{b-1}\int_n^{n+1}(x-n)\phi'(x)\mathrm{d}x \\&=\sum_{n=a}^{b-1} \left( \left[ (x-n)\phi(x) \right]{n}^{n+1}-\int_n^{n+1}\phi(x)\mathrm{d}x\right) \\&=\sum_{n=a}^{b-1}\left(
\phi(n+1)-\int_n^{n+1}\phi(x)\mathrm{d}x \right)
\\&=\sum_{n=a}^{b-1}\phi(n+1)-\sum_{n=a}^{b-1}\int_n^{n+1}\phi(x)\mathrm{d}x
\\&=\sum_{n=a}^{b-1}\phi(n+1)-\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x.
\end{align*}

$$
\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=a}^{b-1}\phi(n+1)=\sum_{a<n\leq
b}\phi(n).
$$

解决了简单重要情形(定理2)之后,下面我们回到Euler求和公式,尝试去证明它(即定理1).暂时不理会为什么定理1中的Euler求和公式被华老写得那么长,它其实可以写得短一点,如下:

定理 3. 命$\phi(x)$是有限闭区间$[a,b]$内有连续微商的函数,则
\begin{align*}
\sum_{a<n\leq b}\phi(n)&=\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b \left(
x-[x] \right)\phi'(x)\mathrm{d}x+\left( a-[a] \right)\phi(a)\\&-\left(
b-[b] \right)\phi(b),
\end{align*}
此处$[\xi]$代表实数$\xi$的整数部分.

证明 . 由定理2的结论,
\begin{align*} \sum_{a< n\leq b}\phi(n)&=\sum_{[a]< n\leq [b]}\phi(n) \\&=\int_{[a]}^{[b]}\phi(x)\mathrm{d}x+\int_{[a]}^{[b]}(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x \\&=\left(\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x-\int_{[b]}^{b}\phi(x)\mathrm{d}x+\int_{[a]}^{a}\phi(x)\mathrm{d}x\right)\\&+\left(\int_a^{b}(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x-\int_{[b]}^{b}(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x+\int_{[a+1]}^{a}(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x\right) \\&=\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x+\left( \int_{[a]}^{a}\phi(x)\mathrm{d}x+\int_{[a]}^a(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x \right)\\&-\left( \int_{[b]}^b\phi(x)\mathrm{d}x+ \int_{[b]}^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x \right) \\&=\int_a^b\phi(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(x-[x])\phi'(x)\mathrm{d}x+(a-[a])\phi(a)-(b-[b])\phi(b). \end{align*}
证毕.

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