蛛网求解2015年浙江高考数学最后一题

我曾经在2016年6月3日解答过2015年浙江高考数学(理科)最后一题:

问题 1 (2015年浙江高考理数最后一题). 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\frac{1}{2}$且$a_{n+1}=a_n-a_n^2(n\in
\mathbf{N}^{+})$.
  • 证明:$1\leq \frac{a_n}{a_{n+1}}\leq 2(n\in \mathbf{N}^{+})$.
  • 设数列$\{a_{n}^{2}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,证
    明:$\frac{1}{2(n+2)}\leq \frac{S_{n}}{n}\leq \frac{1}{2(n+1)}(n\in
    \mathbf{N}^{+})$.

当时的解答过程如下.

先用数学归纳法证明,

引理 1. 对于一切$n\geq 2$,$0 < a_n\leq \frac{1}{4}$.
证明 . 首先,$0 < a_2=\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$.假设当$n=k(k\geq 2)$时,有$0 < a_k\leq \frac{1}{4}$. 则当$n=k+1$时, $$ 0 < a_{k+1}=a_k-a_k^2=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-a_{k}\right)^2\leq \frac{1}{4}. $$ 由数学归纳法,对一切$n\geq 2$,$0 < a_n\leq\frac{1}{4}$.
下面我们来证明题目第一步.
证明 . 由引理,可得对一切$n\geq 1$,$0 < a_n\leq \frac{1}{2}$. \begin{align*} 1\leq\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq 2&\iff 1\leq\frac{a_n}{a_n-a_n^2}\leq 2 \\&\iff 1\leq \frac{1}{1-a_n}\leq 2 \\&\iff 0\leq a_n\leq \frac{1}{2}. \end{align*} 而$0\leq a_n\leq \frac{1}{2}$是显然 的.于是$1\leq\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq 2$.
再证明题目的第二步.
证明 . 证明:$a_n^2=a_n-a_{n+1}$.因此 \begin{align*}S_n&=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\\&=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_n-a_{n+1})\\&=a_1-a_{n+1}\\&=\frac{1}{2}-a_{n+1}. \end{align*}因此, \begin{align*} \frac{1}{2(n+2)}\leq \frac{S_n}{n}\leq \frac{1}{2(n+1)}&\iff \frac{1}{2(n+2)}\leq \frac{\frac{1}{2}-a_{n+1}}{n}\leq \frac{1}{2(n+1)} \\&\iff \frac{1}{2(n+1)}\leq a_{n+1}\leq \frac{1}{n+2}. \end{align*}可见,为 了证明第二步的结论,我们只用证明$\frac{1}{2(n+1)}\leq a_{n+1}\leq \frac{1}{n+2}$即可.即证明对于一切$n\geq 2$,\begin{equation}\label{eq:1}\frac{1}{2n}\leq a_n\leq \frac{1}{n+1}.\end{equation}为此仍然采用数学归纳 法.当$n=2$时,$\frac{1}{4}\leq a_2=\frac{1}{4}\leq\frac{1}{3}$,此时不 等式\eqref{eq:1}成立.假设当$n=k(k\geq 2)$时, $$ \frac{1}{2k}\leq a_k\leq \frac{1}{k+1}, $$ 则当$n=k+1$时,由归纳假 设可得 \begin{equation}\label{eq:2} \frac{1}{2k}-\frac{1}{4k^{2}}=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\right)^{2}\leq a_{k+1}=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-a_{k}\right)^2\leq \frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}\right)^2=\frac{1}{k+1}-\left(\frac{1}{k+1}\right)^2 \end{equation}下面证明 $$ \frac{1}{k+1}-\left(\frac{1}{k+1}\right)^2\leq \frac{1}{k+2}. $$ \begin{align*} \frac{1}{k+1}-\left(\frac{1}{k+1}\right)^2\leq \frac{1}{k+2}&\iff (k+1)(k+2)-(k+2)\leq (k+1)^2 \\&\iff k^2+3k+2-k-2\leq k^2+2k+1 \\&\iff 0\leq 1. \end{align*}再证明 $$ \frac{1}{2k}-\frac{1}{4k^2}\geq \frac{1}{2(k+1)}. $$ \begin{align*} \frac{1}{2k}-\frac{1}{4k^2}\geq \frac{1}{2(k+1)}&\iff 2k(k+1)-(k+1)\geq 2k^2 \\&\iff k\geq 1. \end{align*}这两个结果与不等式\eqref{eq:2}结合起来,可得 $$ \frac{1}{2(k+1)}\leq a_{k+1}\leq \frac{1}{k+2}. $$综上,由数学归纳 法,对于一切$n\geq 2$,总有不等式\eqref{eq:1}成立.这样就证明了第二步的 结论.

下面,我们利用蛛网迭代,研究这道题的命题背景.我们给出针对这道题的本质解 法.令$f(x)=x-x^2$.则由微分中值定理,对于任意的$n\geq 2$,存在$c\in (0,a_n)$,使得 $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{f(a_n)-f(0)}{a_n-0}=f'(c)=1-2c, $$ 由于当$n\geq 2$时, $$ a_n\leq a_2=a_1-a_1^2=\frac{1}{4}, $$ 因此 $$ \frac{1}{2}\leq f'(c)=1-2c<1, $$ 可见,当$n\geq 2$时, $$ \frac{1}{2}\leq \frac{a_{n+1}}{a_n}<1, $$ 即当$n\geq 2$时, $$ 1<\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq 2. $$ 而当$n=1$时, $$ \frac{a_1}{a_2}=2, $$ 故对于$n\in \mathbf{N}^{*}$,都有 $$ 1<\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq 2. $$ 这就完成了第一步的证明.下面证明第二步.由于 $$ S_n=\frac{1}{2}-a_{n+1}, $$ 因此命题等价于证明 $$ \frac{1}{2(n+1)}\leq a_{n+1}\leq \frac{1}{n+2}. $$ 由于 $$ a_{n}-2a_{n}a_{n+1}\leq a_{n+1}=a_n-a_n^2\leq a_n-a_na_{n+1}, $$ 因此 $$ \frac{a_n}{1+2a_n}\leq a_{n+1}\leq \frac{a_n}{1+a_n}. $$

  • 若数列$\{a_n\}$的首 项$a_1=\frac{1}{2}$,且$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$,则可求 得$a_n=\frac{1}{n+1}$.
  • 若数列$\{a_n\}$的首 项$a_1=\frac{1}{2}$,且$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+2a_n}$,则可求 得$a_n=\frac{1}{2n}$.
由迭代保序定理(见博文高观点下的高中数学命题实践感悟中的定理1),可得对于 一切$n\in \mathbf{N}^{*}$ $$ \frac{1}{2n}\leq a_n\leq \frac{1}{n+1}, $$ 这样就完成了命题的证明.

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