高等解法秒杀1984年高考数列压轴题

问题 1 (1984年全国高考理科数学第19题). 设$a>2$,给定数列$\{x_n\}$,其中
$x_1=a$,$x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2(x_n-1)}(n=1,2,\cdots)$.求证:

  • $x_n>2$,且$\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$($n=1,2,\cdots$)
  • 如果$a\leq 3$,那么$x_n\leq 2+\frac{1}{2^{n-1}}(n=1,2,\cdots)$
  • 如果$a>3$,那么当$n\geq \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}$时,必有$x_{n+1}<3$.
解答 1.1.
  • 首先$x_1=a>2$.假设对于$n\in \mathbf{N}^{}$,有$x_n>2$,则 $$ x_{n+1}-2=\frac{x_n^2}{2(x_n-1)}-2=\frac{(x_n-2)^2}{2(x_n-1)}>0, $$ 即$x_{n+1}>2$.故由数学归纳法可得对于任意$n\in \mathbf{N}^{*}$,都有$x_n>2$.

    令$f(x)=\frac{x^2}{2(x-1)}$,则由微分中值定理,存在数$c\in (2,x_n)$,使得
    $$
    \frac{x_{n+1}-2}{x_n-2}=\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}=f'(c)=\frac{c^2-2c}{2(c-1)^2}<1, $$ 即$x_{n+1}<x_n$.

  • 首先有,当$x>2$时,
    $$
    f(x)=\frac{x^2}{2(x-1)}<2+\frac{1}{2}(x-2). $$ 若$p_1=a$,且 $$ p_{n+1}=2+\frac{1}{2}(p_n-2), $$ 则可解得 $$ p_n=(a-2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}+2\leq 2+\frac{1}{2^{n-1}}. $$ 由迭代保序定理(见博文高观点下的高中数学命题实践感悟中的定理1 ),可得 $$ x_n\leq 2+\frac{1}{2^{n-1}}. $$
  • 当$a>3$时,由第(2)小题的解题过程,可得
    $$
    x_{n+1}< (a-2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n}+2,(n=1,2,3\cdots)
    $$
    易得当$n\geq\log_2(a-2)$时,有
    $$
    x_{n+1}< (a-2) \left( \frac{1}{2} \right)^n+2\leq 3.
    $$
    当$a\geq 4$时,易得有
    $$
    \log_{\frac{4}{3}}\frac{a}{3}\geq \log_2(a-2),
    $$
    故当$a\geq 4$时,若$n\geq \log_{\frac{4}{3}}\frac{a}{3}$,则$x_{n+1}<3$.而当$3<a<4$时,当$n\geq 1$时,都有$x_{n+3}\leq 3$.综上所述命题成立.

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