一类荒谬的函数题

在周考卷上看到两道函数题:

问题 1. 已知$f \left( \frac{1}{x} \right)=\frac{1}{x+1}$,则$f(x)$的解析式为

  • $f(x)=\frac{1}{1+x}$
  • $f(x)=\frac{1+x}{x}$
  • $f(x)=1+x$
  • $f(x)=\frac{x}{1+x}$


这道题明显是错题.反例如下:函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{x}{1+x},x\neq 0\\
1,x=0
\end{cases}.
$$
满足题干中的条件,但是明显和D中的函数不是同一个函数.
问题 2. 已知$f(\sqrt{x}+1)=x+2 \sqrt{x}$,则函数$f(x)$的解析式为 ( ) .

参考答案是
$$
f(x)=x^2-1,x\in [1,+\infty).
$$
可是这个答案也是错的.反例如下:函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2-1,x\geq 1\\
1,x < 1
\end{cases}.
$$
满足题干的条件,但是和答案明显是两个函数.

事实上,为了把题目变正确,应做如下修改:

问题 3 (修正版). 已知$f \left( \frac{1}{x} \right)=\frac{1}{x+1}$,且$f(x)$的定义域是$\{x|x\neq 0\}$.则$f(x)$的解析式为

  • $f(x)=\frac{1}{1+x}(x\neq 0)$
  • $f(x)=\frac{1+x}{x}$
  • $f(x)=1+x(x\neq 0)$
  • $f(x)=\frac{x}{1+x}(x\neq 0)$


问题 4 (修正版). 已知$f(\sqrt{x}+1)=x+ 2 \sqrt{x}$,且$f(x)$的定义域是$[1,+\infty)$,则
函数$f(x)$的解析式为( ).

此条目发表在教学分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据