向量法简证圆幂定理

圆幂定理表明:

(圆幂定理)设圆$O$的半径长为$r$,点$P$在圆外.过点$P$的直线交圆于$A,B$两点.则$PA\cdot PB=OP^2-r^2$.


在此,我们使用向量的数量积,给出圆幂定理的一个简单证明.如图所示,设直线$OB$与圆交于另一点$C$.因为$CA\perp PB$,所以
\begin{align*} \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}&=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB} \\&=\frac{\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}\right)^{2}}{4} \\&=\frac{(2\overrightarrow{PO})^2-(\overrightarrow{BC})^2}{4} \\&=OP^2-r^2. \end{align*}
证毕.特别的,利用向量的数量积,事实上推广了圆幂定理:即便点$P$在圆上或圆内,照样有
$$
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2.
$$

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