由$\ln x\leq x-1$衍生出的一系列不等式

众所周知,对于任意$x>0$,都有
$$
\ln x\leq x-1,
$$
其中等号当且仅当$x=1$时成立.下面从这个不等式出发,衍生出一系列与对数函数有关的不等式.


  • 令$x=\sqrt{t}$,则
    $$
    \ln \sqrt{t}\leq \sqrt{t}-1,
    $$

    $$
    \frac{1}{2}\ln t\leq \sqrt{t}-1,
    $$

    $$
    \ln t\leq 2 \sqrt{t}-2.
    $$
    于是我们得到了不等式
    \begin{equation}\label{eq:1}
    \ln x\leq 2 \sqrt{x}-2,
    \end{equation}
    等号当且仅当$x=1$时成立.
  • 因为
    $$
    2 \sqrt{x}+\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{4x}+\sqrt{2x^2+2}\leq 2 \sqrt{\frac{4x+(2x^2+2)}{2}}=2x+2,
    $$
    所以
    $$
    2 \sqrt{x}-2\leq 2x-\sqrt{2x^2+2},
    $$
    结合不等式\eqref{eq:1}可得
    $$
    \ln x\leq 2x- \sqrt{2x^2+2},
    $$
    在上面的不等式中,再令$x=\sqrt{t}$,可得
    $$
    \ln \sqrt{t}\leq 2 \sqrt{t}-\sqrt{2 t+2},
    $$

    $$
    \ln t\leq 4 \sqrt{t}-\sqrt{8t+8},
    $$

    $$
    \ln x\leq 4 \sqrt{x}-\sqrt{8x+8},
    $$
    等号当且仅当$x=1$时成立.这个不等式与2019年浙江高考最后一题密切相关.


  • 一般地,令$x=\sqrt[n]{t}$,其中$n\geq 1$.则
    $$
    \ln \sqrt[n]{t}\leq \sqrt[n]{t}-1,
    $$

    $$
    \frac{1}{n}\ln t\leq \sqrt[n]{t}-1,
    $$

    $$
    \ln t\leq n \sqrt[n]{t}-n,
    $$
    于是我们得到了不等式
    \begin{equation}
    \label{eq:2}
    \ln x\leq n (\sqrt[n]{x}-1),
    \end{equation}
    等号当且仅当$x=1$时成立.
  • 令$x=\frac{1}{t}$,则
    $$
    \ln \frac{1}{t}\leq \frac{1}{t}-1,
    $$

    $$
    \ln t\geq 1-\frac{1}{t},
    $$

    \begin{equation}\label{eq:3}
    \ln x\geq \frac{x-1}{x}.
    \end{equation}
    等号当且仅当$x=1$时成立.

还可以衍生出很多不等式,我以后再慢慢添加.

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