答疑:一道向量题的两种解法

同事问我一道题:

问题 1 (浙江省十校联盟2019年10月高三联考第9题). 在$\triangle ABC$中,若$\ov{AB}\cdot\ov{BC}=\ov{BC}\cdot\ov{CA}=2\ov{CA}\cdot\ov{AB}$,求$|\ov{AB}|/|\ov{BC}|$.

我给出了两个解法.第一种是纯粹的向量法,第二种方法是解三角形.觉得这道题以后会是不错的教学素材,故把解法记录在下.个人觉得第二种解法代表了命题思路.
解答 1.1. 以$\ov{BA},\ov{BC}$为基底.
\begin{align*} \ov{AB}\cdot\ov{BC}=\ov{BC}\cdot\ov{CA}&\iff -\ov{BA}\cdot\ov{BC}=\ov{BC}\cdot \left( \ov{BA}-\ov{BC} \right) \\&\iff 2\ov{BC}\cdot\ov{BA}=\ov{BC}^2. \end{align*}
\begin{align*} \ov{AB}\cdot\ov{BC}=2\ov{CA}\cdot\ov{AB}&\iff -\ov{BA}\cdot\ov{BC}=-2 \left( \ov{BA}-\ov{BC} \right)\cdot\ov{BA} \\&\iff 3\ov{BC}\cdot\ov{BA}=2\ov{BA}^2. \end{align*}
结合上面的两个等式可得
$$
\frac{\ov{BC}^2}{2}=\frac{2\ov{BA}^2}{3}=\ov{BC}\cdot\ov{BA},
$$

$$
|\ov{BA}|/|\ov{BC}|=\sqrt{3}/2.
$$

解答 1.2. 设角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$.由数量积定义,
$$
ac\cos (\pi-B)=ab\cos(\pi-C)=2bc\cos (\pi-A),
$$

$$
ac\cos B=ab\cos C=2bc\cos A,
$$

$$
\frac{ac\cos B}{ab\cos C}=\frac{c\cos B}{b\cos C}=\frac{\sin C\cos
B}{\sin B\cos C}=\frac{\tan C}{\tan B}=1\Rightarrow B=C.
$$

$$
\frac{ab\cos C}{2bc\cos A}=\frac{a\cos C}{2c\cos A}=\frac{\sin A\cos
C}{2\sin C\cos A}=\frac{\tan A}{2\tan C}=1\Rightarrow \tan A=2\tan C,
$$
于是
\begin{align*} \tan A=\tan (\pi-2C)=\tan C&\Rightarrow \tan 2C=-2\tan C\\&\Rightarrow \frac{2\tan C}{1-\tan^2C}=-2\tan C\\&\Rightarrow \tan C=\sqrt{2}\\&\Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{6}}{3}. \end{align*}

$$
\sin A=\sin(\pi-2C)=\sin 2C=2\sin C\cos C=2\cdot
\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}.
$$

$$
\frac{|\ov{AB}|}{|\ov{BC}|}=\frac{c}{a}=\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$

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