向量法解一道平面几何题

周老师考我一道平面几何题,可惜我不怎么会做平面几何(我其实只会一点简单的数学).所以只好用向量法来解.题目如下:

题目:如图,$I$为$\triangle ABC$的内心,直线$BI,CI$分别交$AC,AB$于点$E,F$,过点$I$的任意一条直线交$EF,BC$于$P,Q$两点,求证:$\angle CAP=\angle BAQ$.

证明:设$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$.由角平分线分线段成比例定理,
$$
\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{|AF|}{c-|AF|}=\frac{b}{a},
$$
解得
$$
|AF|=\frac{bc}{a+b},
$$
同理可解得
$$
|AE|=\frac{bc}{a+c}.
$$
设$\ov{BQ}=\lambda_{1}\ov{BC}$,$\ov{QC}=\lambda_{2}\ov{BC}$;设$\ov{FP}=\mu_{1}\ov{FE}$,$\ov{PE}=\mu_{2}\ov{FE}$.则$\lambda_1+\lambda_2=1$,且$\mu_1+\mu_2=1$.且由定比分点公式,
\begin{equation}\label{eq:1}
\ov{IQ}=\lambda_{2}\ov{IB}+\lambda_{1}\ov{IC},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:2}
\ov{IP}=\mu_{2}\ov{IF}+\mu_{1}\ov{IE}.
\end{equation}
而由角平分线分线段成比例定理,
$$
\frac{|IF|}{|IC|}=\frac{|AF|}{|AC|}=\frac{c}{a+b},
$$

\begin{equation}\label{eq:3}
\ov{IF}=-\frac{c}{a+b}\ov{IC}.
\end{equation}
同理可得
\begin{equation}\label{eq:4}
\ov{IE}=-\frac{b}{a+c}\ov{IB}
\end{equation}
将关系\eqref{eq:3}和\eqref{eq:4}代入方程\eqref{eq:2},可得
\begin{equation}
\label{eq:5}
\ov{IP}=-\mu_{1} \frac{b}{a+c}\ov{IB}-\mu_{2}\frac{c}{a+b}\ov{IC}.
\end{equation}
由于$\ov{IP}$和$\ov{IQ}$共线,因此存在实数$k$,使得$\ov{IQ}=k\ov{IP}$,联立方程\eqref{eq:1}和方程\eqref{eq:5}可得
\begin{equation}\label{eq:6}
\lambda_{2}=\left(-k\right)\left(\mu_{1} \frac{b}{a+c}\right),
\lambda_{1}=(-k)\left(\mu_{2}\frac{c}{a+b}\right).
\end{equation}
再次使用定比分点公式,
$$
\ov{AP}=\mu_1\ov{AE}+\mu_2\ov{AF},
$$
$$
\ov{AQ}=\lambda_{1}\ov{AC}+\lambda_2\ov{AB},
$$
因此将关系式\eqref{eq:6}代入,可得
\begin{equation}\label{eq:7}
\ov{AP}^2=\left( \mu_1\ov{AE}+\mu_2\ov{AF} \right)^{2}
=\left[\frac{\lambda_2(a+c)}{b(-k)}\ov{AE}+\frac{\lambda_1(a+b)}{c(-k)}\ov{AF}
\right]^2.
\end{equation}
且由于
$$
(a+c)\ov{AE}=c\ov{AC},(a+b)\ov{AF}=b\ov{AB},
$$
代入\eqref{eq:7}式可得
\begin{equation}\label{eq:8}
\ov{AP}^2=\left[\frac{\lambda_2c}{b(-k)}\ov{AC}+\frac{\lambda_1b}{c(-k)}\ov{AB}
\right]^{2}
=\frac{1}{k^2}\left( \lambda_2c \frac{\ov{AC}}{b}+\lambda_1b \frac{\ov{AB}}{c} \right)^{2},
\end{equation}
注意到$\frac{\ov{AB}}{c}$是单位向量,将其记为$\bm{e}_{1}$,$\frac{\ov{AC}}{b}$也是单位向量,将其记为$\bm{e}_2$,则\eqref{eq:8}式变为
$$
\ov{AP}^2=\frac{1}{k^{2}} \left( \lambda_1b\bm{e}_1+\lambda_2c\bm{e}_2\right)^{2}=\frac{1}{k^{2}}\left(\lambda_1b\bm{e}_2+\lambda_2c\bm{e}_1\right)^2=\frac{1}{k^2}\left( \lambda_1\ov{AC}+\lambda_2\ov{AB} \right)^2=\frac{1}{k^2}\ov{AQ}^2.
$$
因此$$\frac{|AQ|}{|AP|}=k=\frac{|IQ|}{|IP|}.$$由角平分线分线段成比例定理的逆定理,可得$AI$是$\angle PAQ$的角平分线,于是$\angle QAI=\angle PAI$.又由于$\angle BAI=\angle CAI$,因此$\angle CAP=\angle CAI-\angle PAI=\angle BAI-\angle QAI=\angle BAQ$.$\Box$

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