答疑:一道向量题

邹校发我一道向量题,还请我给出多种解法.但是这几天都比较忙,今天抽空写了一下解答,题目如下:

问题 1. 已知平面向量$\bm{a},\bm{b}$满足$|\bm{a}|=2|\bm{b}|=\bm{a}\cdot\bm{b}=4$.则对任意共面的单位向量$\bm{e}$,$|\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{b}\cdot\bm{e}|$的最大值为_____.

解:由题目易得$|\bm{a}|=4$,$|\bm{b}|=2$,且$\langle\bm{a},\bm{b}\rangle=60^{\circ}$.我们将要绘制两副图,图中$\ov{OA}=\bm{a}$,$\ov{OB}=\bm{b}$,$\ov{OE}=\bm{e}$.

  • 当$\bm{e}\cdot\bm{a}\geq 0$且$\bm{e}\cdot\bm{b}\geq
    0$时,$\bm{e}$与$\bm{a}$以及$\bm{e}$与$\bm{b}$夹成直角或锐角.如图1所示,在这种情况下,点$E$在金黄色区域上运动,且$|\ov{OE}|=1$(该区域的两条边界分别是直线$OA$过点$O$的垂线,以及直线$OB$过点$O$的垂线).

    图1

    此时
    $$
    |\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{b}\cdot\bm{e}|=\bm{a}\cdot\bm{e}-\bm{b}\cdot\bm{e}=(\bm{a}-\bm{b})\cdot\bm{e}=\ov{BA}\cdot\ov{OE},
    $$
    当且仅当$\ov{OE}$与$\ov{OB}$垂直时,$\ov{BA}\cdot\ov{OE}$取得最大值$2\sqrt{3}$.

  • 当$\bm{e}\cdot\bm{a}\geq 0$且$\bm{e}\cdot\bm{b}\leq 0$时,$\bm{e}$与$\bm{a}$夹成直角或锐角,$\bm{e}$与$\bm{b}$夹成直角或钝角.如图2所示,在这种情况下,点$E$在绿色区域上运动,且$|\ov{OE}|=1$(该区域的两条边界分别是直线$OA$过点$O$的垂线以及直线$OB$过点$O$的垂线).

    图2

    此时,
    $$
    |\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{b}\cdot\bm{e}|=\bm{a}\cdot\bm{e}+\bm{b}\cdot\bm{e}=(\bm{a}+\bm{b})\cdot\bm{e}=\ov{OC}\cdot\ov{OE}
    $$

    当且仅当$\ov{OE}$垂直于$\ov{OB}$时,$\ov{OC}\cdot\ov{OE}$取得最大值$2 \sqrt{3}$.(具体计算如
    下:$\bm{a}\cdot\bm{e}+\bm{b}\cdot\bm{e}=\bm{a}\cdot\bm{e}=4\times 1\times
    \cos 30^{\circ}=2 \sqrt{3}$.)

  • 当$\bm{e}\cdot\bm{a}\leq 0$且$\bm{e}\cdot\bm{b}\leq 0$时,令$\bm{e}’=-\bm{e}$,则$\bm{e}’\cdot\bm{a}\geq 0$且 $\bm{e}’\cdot\bm{b}\geq 0$,且有
    $$
    |\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{a}\cdot\bm{e}|=|\bm{a}\cdot\bm{e}’|-|\bm{a}\cdot\bm{e}’|.
    $$
    这样就化归为情形(1)中已解决的问题.
  • 当$\bm{e}\cdot\bm{a}\leq 0$且$\bm{e}\cdot\bm{b}\geq 0$时,同样令$\bm{e}’=-\bm{e}$,则$\bm{e}’\cdot\bm{a}\geq 0$且
    $\bm{e}’\cdot\bm{b}\leq 0$,且有
    $$
    |\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{a}\cdot\bm{e}|=|\bm{a}\cdot\bm{e}’|-|\bm{a}\cdot\bm{e}’|.
    $$
    这样就化归为情形(2)中已解决的问题.
综上所述,$|\bm{a}\cdot\bm{e}|-|\bm{b}\cdot\bm{e}|$的最大值是$2 \sqrt{3}$,当且仅当$\bm{e}$与$\bm{b}$垂直时取得最大值.


至于别的解法就免了吧,上述解法明显是最简单的,我不会浪费时间去找更麻烦的解法.

 

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