由直线和抛物线的位置关系破解二次函数零点分布问题

二次函数零点分布问题一直是二次函数的一个难点,难在含参数的二次函数图象的形状不好把握,而且往往要对问题进行较多的分类讨论.下面我们举例说明,通过将问题转化为抛物线和直线之间的位置关系,可以化解这个难点.笔者通过查询,发现江战明老师早已经在《数学教学》上发表类似的思路,故将他的文章附于文末.

问题 1. 已知关于$x$的方程$x^2+2(m-1)x+6+2m=0$,$m\in\mathbf{R}$.
  • 若方程有两个根$\alpha,\beta$,且满足$0<\alpha<1<\beta<4$,求$m$的取值范围.
  • 若方程至少有一个正根,求$m$的取值范围.

解答 1.1.

  • 方程$x^2+2(m-1)x+6+2m=0$的根为$\alpha,\beta$.$\iff$抛物线$y=x^2$和直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$交点的横坐标为$\alpha$和$\beta$.

    如图1.1,直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$过定点$P(-1,-8)$.设抛物线上的点$A(1,1)$,$B(4,16)$.$0<\alpha<1<\beta<4$当且仅当直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$夹在直线$PA$和直线$PB$之间,即直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$的斜率介于直线$PA$和$PB$的斜率之间.直线$PA$的斜率$k_{PA}=9/2$,直线$PB$的斜率$k_{PB}=24/5$.故$9/2<-2m+2<24/5$,解得$-7/5<m<-5/4$.

  • 方程$x^2+2(m-1)x+6+2m=0$至少有一个正根.$\iff$ 抛物线$y=x^2$和直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$在第一象限存在交点.

    如图1.2所示,过点$P$作抛物线的切线,且切线的斜率为正.切点设为$T$.则由导数工具(或判别式法)可求得直线$PT$的斜率为$4$.当且仅当直线$y=-2m(x+1)+(2x-6)$的斜率不小于$4$时,抛物线和直线在第一象限存在交点.即$-2m+2\geq 4$,解得$m\leq -1$.


问题 2. 已知函数$f(x)=mx^2-2mx-3$在区间$[-1,1]$内无零点,求实数$m$的取值范围.

解答 2.1. 显然$m=0$满足条件.当$m\neq 0$时,函数$f(x)$在区间$[-1,1]$内无零点.$\iff$ 抛物线$y=x^2$和直线$y=2x+3/m$在平面区域$-1\leq x\leq 1$上没有交点.

如图2.1,点$A(-1,1),B(1,1)$在抛物线上.过点$A$且斜率为$2$的直线是$y=2x+3$.过点$B$且斜率为$2$的直线是$y=2x-1$.

抛物线$y=x^2$和直线$y=2x+3/m$在平面区域$-1\leq x\leq 1$上没有交点,当且仅当$3/m>1$或$3/m<-3$,解得$m\in (-1,0)\cup (0,3)$.

综上所述,$-1<m<3$.


问题 3. 若方程$2ax^2-x-1=0$在$(0,1)$内恰有一解,求实数$a$的取值范围.

解答 3.1. 显然$a\neq 0$.方程$2ax^2-x-1=0$在$(0,1)$内恰有一解$\iff$ 抛物线$y=x^2$和直线$y=(x+1)/(2a)$在平面区域$-1< x< 1$上恰有一个交点.

如图3.1所示,直线$y=(x+1)/(2a)$过定点$A(-1,0)$.点$B(1,1)$在抛物线上.抛物线$y=x^2$和直线$y=(x+1)/(2a)$在平面区域$0<x<1$上恰有一解,当且仅当直线$y=(x+1)/(2a)$夹在直线$AB$和$x$轴之间,于是$0<1/(2a)<1/2$,解得$a>1$.


问题 4. 已知函数$f(x)=x^2+ax+b(a,b\in\mathbf{R})$在区间$(0,1)$上有两个零点,求$3a+b$的取值范围.

解答 4.1. 函数$f(x)$在区间$(0,1)$上有两个零点$\iff$ 抛物线$y=x^2$和直线$y=-ax-b$在平面区域$0<x<1$上有两个交点.

设$3a+b=t$,即抛物线$y=x^2$和直线$y=a(3-x)-t$在区域$0<x<1$上有两个交点.直线$y=a(3-x)-t$过定点$(3,-t)$.如图4.1所示,$O(0,0)$为原点,$A(1,1)$在抛物线上.过点$A$作抛物线的切线,与直线$x=3$交于点$B(3,5)$.则当且仅当点$(3,-t)$位于$x$轴上方且位于点$B$下方时,直线$y=a(3-x)-t$能与抛物线在平面区域$0<x<1$上有两个交点.即$0<-t<5$,解得$-5<t<0$.

可见,$3a+b$的取值范围是$(-5,0)$.


问题 5. 已知函数$f(x)=x^2+ax+b(a,b\in\mathbf{R})$在区间$[0,1]$上有零点,求$ab$的最大值.

解答 5.1. 函数$f(x)$在区间$[0,1]$上有零点$\iff$ 抛物线$y=x^2$和直线$y=-ax-b$在区域$0\leq x\leq 1$上有交点.
  • 当$-b>0$时,直线$y=-ax-b$与$y$轴交于点$B(0,-b)$,点$B$位于$y$轴正半轴.设抛物线上的点$A(1,1)$.当且仅当直线$y=-ax-b$的斜率不大于直线$AB$的斜率时,直线$y=-ax-b$与抛物线$y=x^2$在区域$0\leq x\leq 1$上有交点.如图5.1所示.即$-a\leq k_{AB}=1+b$.

  • 当$-b\leq 0$时,直线$y=-ax-b$与$y$轴的交点$B$位于$y$轴的非正半轴.过点$A$作抛物线$y=x^2$的切线,切线与$y$轴交于点$C(0,-1)$.若点$B$介于原点和点$C$之间,则$-1\leq -b\leq 0$.此时,过点$B$作抛物线$y=x^2$的切线,其中切线斜率为正,则可得该切线的斜率为$2 \sqrt{b}$.直线$y=-ax-b$的斜率必须不小于切线斜率,该直线与抛物线$y=x^2$才可能在区域$0\leq x\leq 1$上有交点.即$-a\geq 2 \sqrt{b}$.如图5.2所示.

  • 当点$B$在点$C$下方时,$-b< -1$.此时,直线$AB$的斜率是$k_{AB}=1+b$.为了使得直线$y=-ax-b$与抛物线$y=x^2$在区域$0\leq x\leq 1$上有交点,只用让直线$y=-ax-b$的斜率不小于直线$AB$的斜率,即$-a\geq 1+b$.如图5.3所示,
综上所述:当$b<0$时,$a+b+1\geq 0$;当$0\leq b\leq 1$时,$a+2 \sqrt{b}\leq 0$;当$b>1$时,$a+b+1\leq 0$.可绘制得$(b,a)$形成如下平面区域(图5.4):

令$ab=t$,显然$t$的最大值为正,故为求$t$的最大值,不妨设$t\neq 0$,此时,$a=t/b$.令$t$为常数,则$a=t/b$是坐标平面内的双曲线.当且仅当双曲线与直线$a+b+1=0$相切时,$t$取得最大值,$t$的最大值是$1/4$.

江战明的文章:

用拆分函数法探索二次函数零点与系数的关系

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