一个含绝对值的函数最值问题

问题 1. 求证:$$\max_{-1\leq x\leq 1}{|x^2+px+q|}\geq \frac{1}{2}.$$

解答 1.1. 令函数$f(x)=x^2$,$g(x)=-px-q$,则$|x^2+px+q|=|f(x)-g(x)|$.如图1所示,设$A(-1,1)$,$B(1,1)$在函数$f(x)=x^2$的图像上.则$f(x)$图像在点$A$处切线$l_{A}$的斜率为$-2$,在点$B$处切线$l_{B}$的斜率为$2$.直线$g(x)=-px-q$的斜率为$-p$.

    图1

  • 当直线$g(x)=-px-q$的斜率$-p$介于$0$与$l_B$的斜率之间,即当$0\leq -p\leq 2 $时,如图1所示,当$q=-p^{2}/4$时,$g(x)=-p(x+p/2)+p^{2}/4$是绿色的直线,它与抛物线相切于点$(-p/2,p^{2}/4)$.当$q=1-p$时,$g(x)=-p(x+1)+1$是蓝色的直线,它经过点$A$.红色直线位于绿色直线和蓝色直线的正中间,即红色直线的方程为$y=-px-p/2-p^2/8+1/2$.即当$q=p/2+p^2/8-1/2$时,$g(x)$变成红色直线.可得
    $$
    \max_{-1\leq x\leq 1}{|x^2+px+q|}\geq \max_{-1\leq x\leq
    1}{|x^2+px+(p/2+p^2/8-1/2)|}.
    $$
    而曲线$y=x^2(-1\leq x\leq 1)$上点$A(-1,1)$到红色直线的距离最远,即

    \begin{align*}\max_{-1\leq x\leq 1}\{|x^2+px+(\frac{p}{2}+\frac{p^2}{8}-1/2)|\}&=|(-1)^2+p(-1)+(\frac{p}{2}+\frac{p^2}{8}-1/2)|\\&=\frac{(p-2)^2}{8}\\&\geq \frac{(0-2)^2}{8}\\&=\frac{1}{2}. \end{align*}

    故当$-2\leq p\leq 0$时,
    $$
    \max_{-1\leq x\leq 1}{|x^2+px+q|}\geq \frac{1}{2},
    $$
    等号当且仅当$p=0$,$q=-1/2$时成立.

  • 当直线$g(x)=-px-q$的斜率$-p$介于$l_{A}$的斜率与$0$之间,即当$-2\leq -p\leq 0$时,将图形对称地考虑,同样可得与(1)中相同的结论.
  • 当直线$g(x)=-px-q$的斜率$-p$大于或等于直线$l_B$的斜率,即$-p\geq 2$时,如图2所示,当$q=1+p$时,直线$g(x)$变成绿色的直线,它经过点$B$.当$q=1-p$时,直线$g(x)$变成蓝色的直线,它经过点$A$.红色直线位于绿色直线和蓝色直线的正中间,它的方程是$y=-px+1$.当$q=-1$时,$g(x)$变成红色直线.

    This image has an empty alt attribute; its file name is 3.png
    图2

    可得
    $$
    \max_{-1\leq x\leq 1}|x^2+px+q|\geq \max_{-1\leq x\leq 1}|x^2+px-1|.
    $$
    而曲线$y=x^2(-1\leq x\leq 1)$上,点$A$到红色直线的距离最远,即
    $$
    \max_{-1\leq x\leq 1}|x^2+px-1|=|(-1)^2+p(-1)-1|=|p|\geq 2.
    $$
    可见,此时,
    $$
    \max_{-1\leq x\leq 1}|x^2+px+q|\geq 2.
    $$

  • 当直线$g(x)=-px-q$的斜率$-p$小于或等于直线$l_A$的斜率,即$-p\leq -2$时,将图形对称地考虑,可得与(3)中相同的结论.

综上所述,
$$
\max_{-1\leq x\leq 1}{|x^2+px+q|}\geq \frac{1}{2},
$$
等号当且仅当$p=0$,$q=-1/2$时成立.

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