2009年浙江省赛第20题的命制背景

如下是2009年浙江省高中数学竞赛第20题(我在高中时代参赛的考题).解答过程揭示了题目的命制背景.

问题 1. 设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b$,其中$a>0$,$b$为任意常数.证明:当$0\leq x\leq 1$时,有$|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}$.

解答 1.1. 令函数$g(x)=a(3x^2-2x)$,$h(x)=b(2x-1)$.则$g(x)$过点$O(0,0)$和点$A(1,a)$.$h(x)$过定点$(1/2,0)$.且$|f(x)|=|g(x)-h(x)|$.

当$x\in [0,1]$时,$f'(x)\in [-2a,4a]$.其中$-2a$是抛物线在点$O$处的切线$l_{O}$的斜率,$4a$是抛物线在点$A$处的切线$l_A$的斜率.


  • 当直线$y=h(x)$的斜率$2b<-2a$或$2b>4a$,即$b<-a$或$b>2a$时,由图1可得,当$b>2a$时,
    $$
    \max_{0\leq x\leq 1}{|g(x)-h(x)|}=f(0)
    $$

    图1
    图2

    由图2可得,当$b<-a$时,
    $$
    \max_{0\leq x\leq 1}{|g(x)-h(x)|}=f(1).
    $$

  • 已知直线$OA$的斜率为$a$.当直线$y=h(x)$的斜率介于直线$l_{O}$的斜率和直线$OA$的斜率之间,即$-2a\leq 2b\leq a$,即$-a\leq b\leq a/2$时,如图3所示,作直线$y=h(x)$的平行线,且平行线与抛物线相切(图3中的红色直线).可求得切点$T$的横坐标为$(a+b)/3a$.可得
    \begin{align*} \max_{0\leq x\leq 1}\{|g(x)-h(x)|\}&=\max\left\{f(1),\left|f \left( \frac{a+b}{3a} \right)\right|\right\}\\&=\max\left\{a-b,\left| \frac{ab-a^2-b^2}{3a} \right|\right\} \\&=a-b \\&=f(1). \end{align*}

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    图3

  • 当直线$y=h(x)$的斜率介于直线$OA$的斜率和直线$l_A$的斜率之间,即$a\leq 2b\leq 4a$,即$a/2\leq b\leq 2a$时,如图4所示,还是作直线$y=h(x)$的平行线,且平行线与抛物线相切(图4中的红色直线).可求得切点$T$的横坐标为$(a+b)/3a$.

    图4

    可得
    \begin{align*} \max_{0\leq x\leq 1}\{|g(x)-h(x)|\}&=\max\left\{f(0),\left| f \left( \frac{a+b}{3a} \right) \right|\right\} \\&=\max\left\{b, \left| \frac{ab-a^2-b^2}{3a} \right|\right\} \\&=b \\&=f(0) \end{align*}


综上所述,当$0\leq x\leq 1$时,
$$
|f(x)|\leq \max\{f(0),f(1)\}.
$$

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