《高等代数题解精粹》

You are currently browsing articles tagged 《高等代数题解精粹》.

如下题目是钱吉林《高等代数题解精粹》题679.这是苏州大学2007年考研题.

题目: 求三阶矩阵

\displaystyle \begin{bmatrix} -1&2&6\\ 1&7&25\\ 0&-2&-7 \end{bmatrix}

的Jordan标准型.

解: 先求矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} -1&2&6\\ 1&7&25\\ 0&-2&-7 \end{bmatrix}

的特征值{\lambda}.令

\displaystyle \begin{vmatrix} -1-\lambda&2&6\\ 1&7-\lambda&25\\ 0&-2&-7-\lambda \end{vmatrix}=0,

解得{\lambda=-1,-1,1}.特征值{1}的代数和几何重数都是{1},特征值{-1}的 代数重数是{2},几何重数是{1}.且

\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ -1 \end{bmatrix}\in \ker (A-I),

\displaystyle \begin{bmatrix} -1\\ -3\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (A+I),

\displaystyle \begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}\in \ker (A+I)^2, \begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}\not\in \ker (A+I).

因此

\displaystyle (A+I) \begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -4\\ -12\\ 4 \end{bmatrix}\in \ker (A+I).

{\mathbf{C}^3}的一个基底 {\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)},其中{\mathbf{e}_i}的 第{i}个分量是{1},其余分量是{0}.设{\mathbf{C}^3}的另一个基底

\displaystyle \beta=\left( \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -4\\ -12\\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}. \right)

设线性变换{T}在基{\alpha}下的矩阵{[T]_{\alpha}^{\alpha}}{A+I},则{T} 在基{\beta}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix},

因此

\displaystyle A+I=[T]_{\alpha}^{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 1&-4&5\\ 4&-12&1\\ -1&4&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&5\\ 4&-12&1\\ -1&4&-1 \end{bmatrix}^{-1},

于是,

\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&-4&5\\ 4&-12&1\\ -1&4&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&1\\ 0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&5\\ 4&-12&1\\ -1&4&-1 \end{bmatrix}^{-1}=MJM^{-1},

矩阵{J}即为矩阵{A}的Jordan标准型. \Box

Tags: ,

如下题目是钱吉林《高等代数题解精粹》题685.这是一道湘潭大学考研题,年份未知.

题目 设复矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ a&2&0\\ b&c&-1 \end{bmatrix},

问矩阵{A}可能有什么样的Jordan标准型?并求{A}相似于对角阵的充要条件.

解: 矩形{A}有特征值{2,2,-1}.特征值{-1}的代数重数和几何重数都是{1},特征 值{2}的代数重数是{2},几何重数要看情况.

  • 如果{a=0},则特征值{2}的几何重数是{2} .此时{A}的Jordan标准型形如

    \displaystyle \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&-1 \end{bmatrix}

  • 如果{a\neq 0},则特征值{2}的几何重数是{1}.此时{A}的Jordan标准型 形如

    \displaystyle \begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{bmatrix}.

    让我们举个例子验证一下.当{a=1,b=0,c=1}时,矩阵

    \displaystyle A= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 1&2&0\\ 0&1&-1 \end{bmatrix}.

    矩阵

    \displaystyle A+I= \begin{bmatrix} 3&0&0\\ 1&3&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix},

    此时,

    \displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (A+I).

    矩阵

    \displaystyle A-2I= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&-3 \end{bmatrix},

    此时,

    \displaystyle \mbox{span}\left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{bmatrix} \right\}=\ker (A-2I).

    矩阵

    \displaystyle (A-2I)^2= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&-3&9 \end{bmatrix}.

    可得

    \displaystyle \begin{bmatrix} 6\\ -1\\ -1 \end{bmatrix}\in \ker (A-2I)^2, \begin{bmatrix} 6\\ -1\\ -1 \end{bmatrix}\not\in \ker (A-2I).

    因此

    \displaystyle (A-2I) \begin{bmatrix} 6\\ -1\\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 6\\ 2 \end{bmatrix}\in \ker (A-2I).

    {\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)}{\mathbf{C}^3}的 一组基底,其中{\mathbf{e}_i}的第{i}个分量是{1},其余分量是{0}.且设线性变 换{T}在基{\alpha}下的矩阵{[T]_{\alpha}^{\alpha}}{A-2I}.设

    \displaystyle \beta=\left( \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 6\\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6\\ -1\\ -1 \end{bmatrix} \right)

    {\mathbf{C}^3}的另外一组基,则

    \displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} -3&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix},

    因此

    \displaystyle A-2I=[T]_{\alpha}^{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&0&6\\ 0&6&-1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&6\\ 0&6&-1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix}^{-1}

    于是,

    \displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&0&6\\ 0&6&-1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&6\\ 0&6&-1\\ 1&2&-1 \end{bmatrix}^{-1}.

\Box

 

 

 

如下题目是钱吉林《高等代数题解精粹》题680.这是同济大学的一道考研题,年 份未知.

题目: 求矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&-3&0&3\\ -2&6&0&13\\ 0&-3&1&3\\ -1&2&0&8 \end{bmatrix}

的Jordan标准型(不必求过渡矩阵).

解: 先求矩阵{A}的特征值{\lambda}.令

\displaystyle \begin{vmatrix} 1-\lambda&-3&0&3\\ -2&6-\lambda&0&13\\ 0&-3&1-\lambda&3\\ -1&2&0&8-\lambda \end{vmatrix}=0,

上式即

\displaystyle (\lambda-1)^2(\lambda^2-14\lambda+19)=0,

解得{\lambda=1,1,7-\sqrt{30},7+\sqrt{30}}.特征值{7-\sqrt{30}}和特征值 {7+\sqrt{30}}的代数与几何重数都是{1}.特征值{1}的代数重数是{2},几何重数 也是{2}.因此矩阵{A}可对角化,它的Jordan标准型为

\displaystyle \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&7-\sqrt{30}&0\\ 0&0&0&7+\sqrt{30} \end{bmatrix}.

\Box

Tags: ,

如下题目是钱吉林《高等代数题解精粹》第2版第687题.这是一道复旦大学考研 题,年份未知.

题目 矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} -5&1&4\\ -12&3&8\\ -6&1&5 \end{bmatrix}

的三个特征值分别为{1,1,1},试将{A}表示成{A=TJT^{-1}},其中{J}{A}的 Jordan标准型,{T}是变换矩阵,求{J,T}{T^{-1}}.

解: 从题目可知,矩阵{A}特征值{1}的代数重数为{3}.且易得特征值{1}的几何重数 为{2}.且

\displaystyle \mbox{span}\left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 4\\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} \right\}=\ker (A-I).

\displaystyle \ker (A-I)^2=\mathbf{C}^3.

易知

\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (A-I)^2, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\not\in \ker (A-I),

因此

\displaystyle (A-I) \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 8\\ 4 \end{bmatrix} \in \ker (A-I),

{\mathbf{C}^3}中的一组基为 {\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)},其中向量 {\mathbf{e}_i}的第{i}个分量是{1},其余分量是{0}.{\mathbf{C}^3}的另一组 基为{\beta=\left( \begin{bmatrix} 0\\ 4\\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4\\ 8\\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)}.设线性映射{T}在基{\alpha}下的矩阵为 {[T]_{\alpha}^{\alpha}=A-I},则

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}

我们有矩阵分解

\displaystyle A-I=[T]_{\alpha}^{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&4&0\\ 4&8&0\\ -1&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&4&0\\ 4&8&0\\ -1&4&1 \end{bmatrix}^{-1},

因此

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&4&0\\ 4&8&0\\ -1&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&4&0\\ 4&8&0\\ -1&4&1 \end{bmatrix}^{-1}.

\Box

Tags: ,