上三角矩阵

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在此我们通过一个实例来解释如何将任意一个方阵酉相似到上三角矩阵,即求方阵 的Schur分解.以方阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 4&3&0&0\\ -3&-2&0&0\\ 1&2&-3&-2\\ 4&3&8&5 \end{bmatrix}

为例.在博文举例说明将任意方阵相似到上三角矩阵的步骤中,我们介绍了将矩阵A 相似到上三角矩阵的方法.只需将该方法再加上一个QR分解的步骤,便可以 将方阵{A}酉相似到上三角矩阵,这样就得到了矩阵A 的Schur分解.

让我们继续那篇博文.已得

\displaystyle A=MR_{1}M^{-1}=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}^{-1}. \ \ \ \ \ (1)

下面将矩阵

\displaystyle M=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}

进行QR分解.令向量{\mathbf{u}_i}是矩阵{M}的第{i}列向量.令 {\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_1},令

\displaystyle \mathbf{v}_2=\mathbf{u}_2-\frac{\mathbf{u}_2^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_2+\frac{19}{5}\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \frac{4}{5}\\ \frac{2}{5} \end{bmatrix},

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&\frac{19}{5}&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

\displaystyle \mathbf{v}_3=\mathbf{u}_3-\frac{\mathbf{u}_3^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1-\frac{\mathbf{u}_3^T\mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2=\mathbf{u}_3+\frac{3}{5}\mathbf{v}_1+\frac{1}{2}\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&\frac{3}{5}&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

\displaystyle \mathbf{v}_4=\mathbf{u}_4-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_2}{\mathbf{v}_2^T\mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2-\frac{\mathbf{u}_4^T\mathbf{v}_3}{\mathbf{v}_3^T\mathbf{v}_{3}}\mathbf{v}_3=\mathbf{u}_4-\frac{1}{2}\mathbf{v}_3= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

用矩阵语言表示即

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.

因此

\displaystyle \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3&\mathbf{u}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |&|&|&|\\ \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4\\ |&|&|&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{3}{5}&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\frac{19}{5}&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&-1&\frac{1}{2}\\ 1&\frac{4}{5}&0&0\\ -2&\frac{2}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\frac{19}{5}&-\frac{3}{5}&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&1&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

上式可化为

\displaystyle M=\begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}=QR_2= \begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{5}&-\frac{19 \sqrt{5}}{5}&-\frac{ 3 \sqrt{5}}{5}&0\\ 0&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&-\frac{\sqrt{5}}{5}&0\\ 0&0&\sqrt{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&0&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix},

这样就得到了矩阵{M}的QR分解.将矩阵{M}的QR分解代入表达式(1),可 得{A=MR_1M^{-1}=Q(R_2R_1R_2^{-1})Q^{-1}},化简即

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-10&- \frac{3 \sqrt{10}}{10}&-\frac{11\sqrt{10}}{10}\\ 0&1&- \frac{\sqrt{10}}{10}&\frac{13\sqrt{10}}{10}\\ 0&0&1&6\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2 \sqrt{5}}{5}&0&0\\ -\frac{2 \sqrt{5}}{5}&\frac{\sqrt{5}}{5}&0&0 \end{bmatrix}^{T}.

(一些关键数据:

\displaystyle R_2^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{19 \sqrt{5}}{10}&\frac{5 \sqrt{2}}{4}&-\frac{5 \sqrt{2}}{4}\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}&-\frac{\sqrt{2}}{4}\\ 0&0&\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&0&0&\sqrt{2} \end{bmatrix}.

) 这样就得到了矩阵{A}的Schur分解.

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我们曾经举例说明如何将方阵相似到上三角阵.下面我们再举个更复杂的例子.就让我当一回人肉计算机吧.

 

下面我们再举一例来说明如何将任意方阵相似到上三角矩阵.以矩阵

\displaystyle A_{1}= \begin{bmatrix} 2&1&0&-1&-1&0\\ 1&2&0&0&-1&1\\ -1&-1&4&1&0&-1\\ 0&-1&0&3&1&0\\ 0&0&0&0&4&0\\ 1&0&0&0&-1&3 \end{bmatrix}

为例.设线性变换{T:\mathbf{C}^{6}\rightarrow \mathbf{C}^6}在基 {\alpha_{1}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_6)}下的矩阵 {[T]_{\alpha}^{\alpha}}为矩阵{A_{1}},其中向量{\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量 是{1},其余分量是{0}.

先求矩阵{A_{1}}的特征值.设矩阵{A_{1}}的特征值是{\lambda_{1}},则

\displaystyle \begin{vmatrix} 2-\lambda_{1}&1&0&-1&-1&0\\ 1&2-\lambda_{1}&0&0&-1&1\\ -1&-1&4-\lambda_{1}&1&0&-1\\ 0&-1&0&3-\lambda_{1}&1&0\\ 0&0&0&0&4-\lambda_{1}&0\\ 1&0&0&0&-1&3-\lambda_{1} \end{vmatrix}=0,

解得{\lambda_{1}}等于{2,2,2,4,4,4,}.具体演算草稿见下图.

然后确定矩阵{A_{1}}的特征值{2}所对应的一个特征向量是

\displaystyle \mathbf{v}_1^{(1)}= \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}}.

然后再选取向量{\mathbf{v}_2^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)}},使得{\alpha_2=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)})} 构成{\mathbf{C}^6}的一组基.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_2^{(1)}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_3^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_4^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_5^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}},\mathbf{v}_6^{(1)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{1}}.

则线性变换{T}在基{\alpha_2}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_2}^{\alpha_2}= \begin{bmatrix} 2&1&0&0&0&-1\\ 0&3&1&0&-1&-2\\ 0&1&2&0&0&-1\\ 0&-1&-1&4&1&0\\ 0&0&-1&0&3&1\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

具体演算草稿如下.

将矩阵{[T]_{\alpha_2}^{\alpha_2}}的第{1}行和第{1}列去掉,得到它的子矩阵

\displaystyle A_{2}=\begin{bmatrix} 3&1&0&-1&-2\\ 1&2&0&0&-1\\ -1&-1&4&1&0\\ 0&-1&0&3&1\\ 0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_2^{(1)},\mathbf{v}_3^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{5}维子空间{W_5},且 {\beta_1=(\mathbf{v}_2^{(1)},\mathbf{v}_3^{(1)},\cdots,\mathbf{v}_6^{(1)})}{W_5}的一组基.而且,存在线性变换{G_1:W_5\rightarrow W_5},使得 {[G_{1}]_{\beta_1}^{\beta_1}=A_2}.

矩阵{A_2}的特征值是{2,2,4,4,4}.矩阵{A_2}的特征值{2}所对应的某个特征向 量是{\mathbf{w}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}} }.

\displaystyle \mathbf{w}_1= 0\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ 0\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 4\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+ \frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 3\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{1}}+0 \begin{bmatrix} -2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_{1}},

\displaystyle \mathbf{v}_2^{(2)}=0 \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ -1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 0\\ 1\\ 3\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}+0 \begin{bmatrix} -1\\ -2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},

然后令 {\alpha_3=(\mathbf{v_{1}}^{(1)},\mathbf{v}_{2}^{(2)},\mathbf{v}_{3}^{(2)},\mathbf{v}_{4}^{(2)},\mathbf{v}_{5}^{(2)},\mathbf{v}_{6}^{(2)})}{\mathbf{C}^{6}}的一组基,其中 {\mathbf{v}_{3}^{(2)},\cdots,\mathbf{v}_{6}^{(2)}}待定.不妨令

\displaystyle \mathbf{v}_3^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{2}},\mathbf{v}_4^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},\mathbf{v}_5^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2},\mathbf{v}_6^{(2)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_2}.

则线性映射{T}在基底{\alpha_3}下的矩阵

\displaystyle [T]_{\alpha_3}^{\alpha_3}= \begin{bmatrix} 2&0&1&0&0&-1\\ 0&2&0&-1&0&1\\ 0&0&3&1&0&-2\\ 0&0&1&3&0&-2\\ 0&0&-1&-1&4&0\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}.

具体的演算草稿见下图.

将矩阵{[T]_{\alpha_3}^{\alpha_3}}的前两列和前两行去掉,得到它的子矩阵

\displaystyle A_3=\begin{bmatrix} 3&1&0&-2\\ 1&3&0&-2\\ -1&-1&4&0\\ 0&0&0&4 \end{bmatrix},

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_3^{(2)},\mathbf{v}_4^{(2)},\mathbf{v}_5^{(2)},\mathbf{v}_6^{(2)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{4}维子空间{W_4},且 {\beta_2=(\mathbf{v}_3^{(2)},\mathbf{v}_4^{(2)},\mathbf{v}_5^{(2)},\mathbf{v}_6^{(2)})}{W_4}的一组基.存在线性映射{G_2:W_4\rightarrow W_4},使得{G_2}在基{\beta_2}下 的矩阵{[G_2]_{\beta_2}^{\beta_2}}{A_3}.

矩阵{A_3}的特征值是{2,4,4,4}.矩阵{A_3}的特征值{2}所对应的一个特征向量 是{\mathbf{w}_{2}= \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_2} },且

\displaystyle \mathbf{w}_2=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3\\ 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_{2}}+0 \begin{bmatrix} -2\\ -2\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_{2}},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_3^{(3)}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 3\\ 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 1\\ 3\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}+0 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}+0 \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ -2\\ -2\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_{3}}= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}.

{\alpha_4=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(2)},\mathbf{v}_3^{(3)},\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)})}{\mathbf{C}^6}的一组基,其中 {\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)}}待定.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_4^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3},\mathbf{v}_5^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3},\mathbf{v}_6^{(3)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_3}.

则线性变换{T}在基{\alpha_4}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_4}^{\alpha_4}= \begin{bmatrix} 2&0&1&\frac{3}{2}&0&-2\\ 0&2&1&\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&2&-1&0&2\\ 0&0&0&4&0&-4\\ 0&0&0&-1&4&0\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix},

具体演算草稿见下图.

将矩阵{[T]_{\alpha_4}^{\alpha_4}}的前{3}行和前{3}列删去,得到它的子矩阵

\displaystyle A_4= \begin{bmatrix} 4&0&-4\\ -1&4&0\\ 0&0&4 \end{bmatrix}.

事实 上 ,{\mbox{span}\{\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)}\}} 形成{\mathbf{C}^6}的一个{3}维子空间{W_3}.且 {\beta_3=(\mathbf{v}_4^{(3)},\mathbf{v}_5^{(3)},\mathbf{v}_6^{(3)})}{W_3}的一组基.存在线性映射{G_3:W_3\rightarrow W_3},使得{G_{3}}在基{\beta_{3}} 下的矩阵{[G_{3}]_{\beta_3}^{\beta_3}}{A_{4}}.

矩阵{A_4}的特征值是{4,4,4}.矩阵{A_4}的特征值{4}所对应的一个特征向量是{\mathbf{w}_3= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3} }.且

\displaystyle \mathbf{w}_3=0 \begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3}+\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta_3}+0 \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\beta_3},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_4^{(4)}=0 \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -1\\ 4\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}+\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}+0 \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ 2\\ -4\\ 0\\ 4 \end{bmatrix}_{\alpha_4}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}.

{\alpha_5=(\mathbf{v}_1^{(1)},\mathbf{v}_2^{(2)},\mathbf{v}_3^{(3)},\mathbf{v}_{4}^{(4)},\mathbf{v}_5^{(4)},\mathbf{v}_6^{(4)})}{\mathbf{C}^6}的一组基,其中向量 {\mathbf{v}_5^{(4)},\mathbf{v}_6^{(4)}}待定.不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_5^{(4)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4},\mathbf{v}_6^{(4)}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_4}.

则线性变换{T}在基{\alpha_5}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\alpha_5}^{\alpha_5}= \begin{bmatrix} 2&0&0&0&\frac{3}{2}&-2\\ 0&2&0&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&2&0&-1&2\\ 0&0&0&4&-1&0\\ 0&0&0&0&4&-4\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}.

具体演算草稿见下图.

而基

\displaystyle \begin{array}{rcl} \alpha_5&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_4}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_4} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_3}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_3} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ 1\\ -\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_2}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_2} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}_{\alpha_1} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha_1} \right). \end{array}

因此可得矩阵分解式

\displaystyle \begin{array}{rcl} A_1&=&[T]_{\alpha_1}^{\alpha_1}=[I]_{\alpha_5}^{\alpha_1}[T]_{\alpha_5}^{\alpha_5}[I]_{\alpha_1}^{\alpha_5}\\&=& \begin{bmatrix} -1&0&\frac{1}{2}&0&1&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 1&0&\frac{1}{2}&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&0&0&\frac{3}{2}&-2\\ 0&2&0&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&2&0&-1&2\\ 0&0&0&4&-1&0\\ 0&0&0&0&4&-4\\ 0&0&0&0&0&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1&0&\frac{1}{2}&0&1&0\\ 0&1&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&1&\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 1&0&\frac{1}{2}&0&0&0 \end{bmatrix}^{-1} \end{array}

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我们曾经叙述了将任意方阵相似到上三角阵的原理,并举了几个简单的例子.在此,我们举一个更复杂的例子来说明.

 

设线性变换{T}在基 {\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4)}下的矩阵 {[T]_{\alpha}^{\alpha}=A},其中{\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量是{1},其余 分量是{0},且矩阵

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 4&3&0&0\\ -3&-2&0&0\\ 1&2&-3&-2\\ 4&3&8&5 \end{bmatrix},

求得矩阵{A}的特征值为{1,1,1,1}.矩阵{A}的特征值{1}对应的其中一个特征向量是{ \mathbf{v}_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}_{\alpha} }.然后再选取向量{\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },{\mathbf{v}_3= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },{\mathbf{v}_4= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} },使得{\beta=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4)}构 成{\mathbf{C}^4}的一组基.

{T}在基{\beta}下的矩阵

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 1&-2&-\frac{3}{2}&-4\\ 0&4&3&0\\ 0&-3&-2&0\\ 0&3&\frac{7}{2}&1 \end{bmatrix},

将矩阵{[T]_{\beta}^{\beta}}的第{1}行和第{1}列除去,得到它的子矩阵 {A'}.事实上,

\displaystyle \mbox{span}\left\{\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\right\}

形成{\mathbf{C}^4}的一个三维子空间{W_3}, {\gamma=(\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4)}{W_3}的一组基底.可 以构造线性映射{G:W_3\rightarrow W_3},使得{G}在基{\gamma}下的矩阵是{[G]_{\gamma}^{\gamma}=A'}.对于矩阵

\displaystyle A'= \begin{bmatrix} 4&3&0\\ -3&-2&0\\ 3&\frac{7}{2}&1 \end{bmatrix}

来说,其特征值是{1,1,1}.矩阵{A'}的特征值{1}对应于某个特征向量{\mathbf{w}_1= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma} }.而

\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma}=0 \begin{bmatrix} 4\\ -3\\ 3 \end{bmatrix}_{\gamma}+0 \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ \frac{7}{2} \end{bmatrix}_{\gamma}+1 \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\gamma},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_2'=0 \begin{bmatrix} -2\\ 4\\ -3\\ 3 \end{bmatrix}_{\beta}+0 \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}\\ 3\\ -2\\ \frac{7}{2} \end{bmatrix}_{\beta}+1 \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta}= \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta},

{\mathbf{C}^4}的一组基 {\beta'=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2',\mathbf{v}_{3}',\mathbf{v}_{4}')},其中向量 {\mathbf{v}_{3}',\mathbf{v}_{4}'}待定,不妨让

\displaystyle \mathbf{v}_3'= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta},\mathbf{v}_4'= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta},

则线性映射{T}在基{\beta'}下的矩阵是

\displaystyle [T]_{\beta'}^{\beta'}= \begin{bmatrix} 1&-4&10&\frac{25}{2}\\ 0&1&3&\frac{7}{2}\\ 0&0&4&3\\ 0&0&-3&-2 \end{bmatrix}.

再将矩阵{[T]_{\beta'}^{\beta'}}的前两行和前两列除去,得到子矩阵{A''}.事 实上,

\displaystyle \mbox{span}\{\mathbf{v}_3',\mathbf{v}_4'\}

形成{\mathbf{C}^4}的一个二维子空间 {W_2}.{\gamma'=(\mathbf{v}_3',\mathbf{v}_4')}{W_2}的一组基底.可以构 造线性映射{G':W_2\rightarrow W_2},使得{G'}在基{\gamma'}下的矩阵是 {[G']_{\gamma'}^{\gamma'}=A''}.矩阵

\displaystyle A''= \begin{bmatrix} 4&3\\ -3&-2 \end{bmatrix}

的特征值是{1,1}.矩阵{A''}的特征值{1}对应于某个特征向量{\mathbf{w}_1'= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\gamma'}. }

\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\gamma'}=1 \begin{bmatrix} 4\\ -3 \end{bmatrix}_{\gamma'}-1 \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix}_{\gamma'},

令向量

\displaystyle \mathbf{v}_3''=1 \begin{bmatrix} 10\\ 3\\ 4\\ -3 \end{bmatrix}_{\beta'}-1 \begin{bmatrix} \frac{25}{2}\\ \frac{7}{2}\\ 3\\ -2 \end{bmatrix}_{\beta'}= \begin{bmatrix} -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\beta'}.

{\mathbf{C}^4}的一组基 {\beta''=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2',\mathbf{v}_3'',\mathbf{v}_4'')}, 其中{\mathbf{v}_4''}待定,不妨让{\mathbf{v}_4''= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'} }.则线性映射{T}在基{\beta''}下的矩阵是

\displaystyle [T]_{\beta''}^{\beta''}= \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},

{[T]_{\beta''}^{\beta''}}已经是上三角矩阵了.下面我们写出把矩阵{A}相 似到{[T]_{\beta''}^{\beta''}}的矩阵分解式.

\displaystyle \begin{array}{rcl} \beta''&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta''}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta''}\right) \\&=& \left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} -\frac{5}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}_{\beta'}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta'} \right) \\&=&\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ 1\\ -1\\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}_{\beta}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\beta} \right) \\&=& \left( \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -3\\ 8 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}_{\alpha}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}_{\alpha} \right). \end{array}

所以矩阵{A}可以分解为

\displaystyle \begin{array}{rcl} A&=&[T]_{\alpha}^{\alpha}\\&=&[I]_{\beta''}^{\alpha}[T]_{\beta''}^{\beta''}[I]_{\alpha}^{\beta'}\\&=& \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-4&-\frac{1}{2}&\frac{35}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 1&-3&-1&0\\ -2&8&1&0 \end{bmatrix}^{-1}. \end{array}

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