切变变换

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这是博文求一个切变变换矩阵的Jordan标准型的续.

 

我们来看三维空间中的切变变换矩阵

\displaystyle \mathbf{H}_{xz}(s,t)= \begin{bmatrix} 1&s&0\\ 0&1&0\\ 0&t&1 \end{bmatrix},

矩阵{\mathbf{H}_{xz}(s,t)}表示沿着{xz}平面的切变变换.特别地,矩阵 {\mathbf{H}_{xz}(1,0)}表示沿着{x}轴的切变变换.还有矩阵

\displaystyle \mathbf{H}_{yz}(s,t)= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ s&1&0\\ t&0&1 \end{bmatrix},

矩阵{\mathbf{H}_{yz}(s,t)}表示沿着{yz}平面的切变变换,特别地,矩阵 {\mathbf{H}_{yz}(0,1)}表示沿着{z}轴的切变变换.下面我们来看矩阵 {\mathbf{H}_{xz}(1,0)}和矩阵{\mathbf{H}_{yz}(0,1)}的乘积

\displaystyle A=\mathbf{H}_{yz}(0,1)\mathbf{H}_{xz}(1,0)= \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 1&1&1 \end{bmatrix}.

矩阵{A}的特征值是{1},且特征值{1}的代数重数是{3},几何重数是{1}.下面我们 求其Jordan标准型.

\displaystyle \mbox{span} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}=\ker (A-I),

而且,

\displaystyle (A-I)^2= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix},

可得

\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\in \ker (A-I)^2, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\not\in \ker (A-I).

而且,

\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\in \ker (A-I)^3, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\not \in \ker (A-I)^2.

因此

\displaystyle (A-I) \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (A-I)^2,

\displaystyle (A-I) \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (A-I).

{\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)}{\mathbf{C}^3}的 一组基,其中{\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量是{1},其余分量是{0}.记

\displaystyle \beta=\left ( \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \right),

设线性变换{T}在基{\alpha}下的矩阵{[T]_{\alpha}^{\alpha}}{A-I},则{T} 在基{\beta}下的矩阵为

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix},

因此

\displaystyle A-I=[T]_{\alpha}^{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}^{-1},

因此

\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}^{-1}.

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我们看三维空间中的切变变换矩阵

\displaystyle \mathbf{H}_{xy}(s,t)= \begin{bmatrix} 1&0&s\\ 0&1&t\\ 0&0&1 \end{bmatrix},

其中{\mathbf{H}_{xy}(s,t)}表示沿{xy}平面的切变变换.特别 地,{\mathbf{H}_{xy}(1,0)}表示沿着{x}轴的切变变换,{\mathbf{H}_{xy}(0,1)}表 示沿着{y}轴的切变变换.

矩阵

\displaystyle \mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0 )= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix},

矩阵{\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)}的特征值是{1},特征值{1} 的代数重数是{3},几何重数是{2}.且

\displaystyle \mbox{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\right\}= \ker (\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)-I),

\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\in \ker (\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)-I)^2.

下面我们求矩阵{\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)}的Jordan标准型.

\displaystyle (\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)-I) \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\in \ker (\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)-I).

设基{\alpha=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)},其中向量 {\mathbf{e}_{i}}的第{i}个分量是{1},其余分量都是{0}.且设线性映射{T}在基 {\alpha}下的矩阵 {[T]_{\alpha}^{\alpha}=\mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)-I}.设 基{\beta=\left( \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)},则线性映射{T}在基{\beta}下的矩阵

\displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix},

即我们有矩阵分解式

\displaystyle [T]_{\alpha}^{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}^{-1},

因此

\displaystyle \mathbf{H}_{xy}(0,1)\mathbf{H}_{xy}(1,0)=[T]_{\alpha}^{\alpha}+I= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}^{-1}

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