平面向量

You are currently browsing articles tagged 平面向量.

继续在QQ群过着荒诞不经的生活.中学教研网(QQ号712018203)的六盘水―高中数学―苏世贤问了一道题,

题目:已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$,且$\angle A=60^{\circ}$.若$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}(\alpha,\beta\in \mathbf{R})$,则$\alpha+\beta$的最大值是 _______.

有人说这题用奔驰定理做.话是没错.可是有多少学生掌握了这个所谓的“奔驰定理”呢?事实上,即便不用“奔驰定理”,老老实实地用纯向量方法也能方便地解决这道题.解答如下,连画图都免了.

:由题意,
$$
\overrightarrow{AO}^2=\overrightarrow{BO}^2=\overrightarrow{CO}^2,
$$
结合$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}$,
可得
$$
(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}]^2=[\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}]^{2}.
$$
化简$(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[(\alpha-1)\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}]^2$可

\begin{equation}
\label{eq:1}
(2\alpha-1)|\overrightarrow{AB}|+\beta|\overrightarrow{AC}|=0,
\end{equation}
同理,化简$(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})^2=[\alpha\overrightarrow{AB}+(\beta-1)\overrightarrow{AC}]^{2}$可得
\begin{equation}
\label{eq:2}
\alpha|\overrightarrow{AB}|+(2\beta-1)|\overrightarrow{AC}|=0.
\end{equation}
由\eqref{eq:1}和\eqref{eq:2}可得
$$
\beta=\frac{2}{3}-\frac{|\overrightarrow{AB}|}{3|\overrightarrow{AC}|},\alpha=\frac{2}{3}-\frac{|\overrightarrow{AC}|}{3|\overrightarrow{AB}|},
$$
因此
$$
\alpha+\beta=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}\right)\leq
\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2 \sqrt{\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\cdot\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{2}{3}.
$$
最大值当且仅当$\triangle ABC$是等边三角形时取到.

Tags: ,

暑假无聊,关注了两个中学数学QQ群。今天看到中学数学教研网(QQ号712018203)里浙江衢州高中数学毛敏问了一个向量题:

2018绍兴柯桥二模题17 已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=2|\overrightarrow{a}|=1$,求$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})$的最大值和最小值.

兹解答如下:

解:\begin{eqnarray*}
(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot
(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})&=&\overrightarrow{c}^2-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}
\\&=&\overrightarrow{c}^{2}+\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2-\overrightarrow{c}^2}{2}
\\&=&\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\frac{1}{8}.
\end{eqnarray*}
当且仅当$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$时,$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot
(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})$取到最小值$-\frac{1}{8}$.


$$
\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\frac{1}{8}\leq \frac{1}{2}(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|)^2-\frac{1}{8}=3,
$$
当且仅当$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$都与向量$\overrightarrow{c}$反向时取到最大值.$\Box$

 

收获一堆赞誉,虚荣心得到了小小的满足

再来几道类似题.我们同样用配方法和向量绝对值不等式处理它.

题目2:平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$的模为$2$,且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$,求$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$的最小值.

解:
\begin{align*}
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})&=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^2
\\&=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\overrightarrow{a}^{2}-\overrightarrow{b}^{2}-\overrightarrow{c}^2}{2}+\overrightarrow{c}^2
\\&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-2
\\&\geq \frac{1}{2}(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-|\overrightarrow{c}|)^2-2
\\&=4-4 \sqrt{2}.
\end{align*}
当且仅当$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a+b}$反向时取到最小值.

题目3:已知$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量$\overrightarrow{c}$满足$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{0}$,则$|\overrightarrow{c}|$的最大值是______.

:\begin{align*}
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{0}&\iff
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^{2}=0
\\&\iff
\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2-\overrightarrow{c}^{2}}{2}+\overrightarrow{c}^{2}=0
\\&\iff \overrightarrow{c}^2=2-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2
\end{align*}
$$
|\overrightarrow{c}|^2=2-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2\leq
2-(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-|\overrightarrow{c}|)^2=2 \sqrt{2}|\overrightarrow{c}|-|\overrightarrow{c}|^2,
$$
即$2|\overrightarrow{c}|^2\leq 2 \sqrt{2}|\overrightarrow{c}|$,因此$|\overrightarrow{c}|\leq \sqrt{2}$.当且仅当$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$反向时,$|\overrightarrow{c}|$取到最大值$\sqrt{2}$.

 

题目4(2009年全国I卷理科第6题):已知$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$为单位向量,且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$,则$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$的最小值为_____.

证明:\begin{align*}
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})&=\overrightarrow{a}\cdot
\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}^2\\&=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^{2}-\overrightarrow{c}^2}{2}+\overrightarrow{c}^2
\\&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\frac{1}{2}
\\&\geq \frac{1}{2}(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-|\overrightarrow{c}|)^2-\frac{1}{2}
\\&=1-\sqrt{2}.
\end{align*}
当且仅当$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$反向时,取到最小值.

题目5(2011年辽宁卷第10题):已知$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$是共面的单位向量,且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$,$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\leq 0$,则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最大值是_______.

:
\begin{align*}
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\leq 0&\iff
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^2\leq
0
\\&\iff
\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2-\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2-\overrightarrow{c}^2}{2}+\overrightarrow{c}^2\leq
0
\\&\iff (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^2\leq 1.
\end{align*}
因此$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|\leq 1$.当且仅当$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$时,最大值$1$取到.

 

题目6:$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$均为单位向量,且它们的夹角为$45^{\circ}$,设$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e_2}|=\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}(k\in
\mathbf{R})$,则$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的最小值为_________.

:\begin{align*}
|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|&=|(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e_2})-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e_2})|
\\&=|(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e_2})-[\overrightarrow{e_1}+(1+k)\overrightarrow{e_2}]|
\\&\geq \bigg||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e_2}|-|\overrightarrow{e_1}+(1+k)\overrightarrow{e}_2|\bigg|
\\&=\bigg||\overrightarrow{e_{1}}+(1+k)\overrightarrow{e_{2}}|-\frac{\sqrt{2}}{4}\bigg|.
\end{align*}

\begin{align*}
|\overrightarrow{e_1}+(1+k)\overrightarrow{e_2}|^2&=\overrightarrow{e_1}^2+(1+k)^2\overrightarrow{e_2}^2+2(1+k)\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}
\\&=(1+k)^2+\sqrt{2}(1+k)+1
\\&=(k+1+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}
\\&\geq \frac{1}{2},
\end{align*}
所以$|\overrightarrow{e_1}+(1+k)\overrightarrow{e_2}|\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$,等号当且仅当$k=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取到.因此,
$$
\bigg||\overrightarrow{e_{1}}+(1+k)\overrightarrow{e_{2}}|-\frac{\sqrt{2}}{4}\bigg|\geq
|\overrightarrow{e_1}+(1+k)\overrightarrow{e_2}|-\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
$$
最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$当且仅当$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e_2}$反向,且$k=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取到.

Tags:

 

题目: 如图1所示,设{O}{\triangle ABC}内任意一点,{\triangle OAB,\triangle OBC,\triangle OCA}的面积分别为{S_3,S_1,S_2}.证明:

\displaystyle S_1\overrightarrow{OA}+S_2\overrightarrow{OB}+S_3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

 

 

 

证明1:如图2所示,

图2


\displaystyle x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}. \ \ \ \ \ (1)

将线段{OB}以点{O}为旋转中心,逆时针旋转{\frac{\pi}{2}},得到线段{OB'}.由方程(1)可得

\displaystyle \left(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\right)\cdot\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{0}\cdot\overrightarrow{OB'}=0,

结合数量积的乘法分配律,可得

\displaystyle x\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB'}+y\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB'}+z\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB'}=0,

因为{\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB'}=0},所以

\displaystyle x\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB'}+z\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB'}=0. \ \ \ \ \ (2)

设从向量{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OB}}广义夹角{\alpha},从{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OC}}的广义夹角 为{\beta},则由数量积的定义,方程(2)可以化为

\displaystyle x|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB'}|\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})+z|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB'}|\cos(\beta-\frac{\pi}{2})=0. \ \ \ \ \ (3)

又因为{|\overrightarrow{OB'}|=|\overrightarrow{OB}|},且 {\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha},{\cos(\beta-\frac{\pi}{2})=\sin\beta}, 所以方程(3)可以化为

\displaystyle z|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB}|\sin\beta- x|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\alpha=0,

\displaystyle x:z=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB}|\sin\beta:|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\alpha=S_1:S_{3}.

同理可得{y:z=S_2:S_3},{x:y=S_1:S_2}.所以{x:y:z=S_1:S_2:S_3}.所以

\displaystyle S_1\overrightarrow{OA}+S_2\overrightarrow{OB}+S_3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

\Box

也可以利用行列式来证明.

证明2: 在平面{ABC}上建立平面直角坐标系.设{O}为坐标原点,{A,B,C}的坐标分别为 {A(x_A,y_A)}, {B(x_B,y_B)},{C(x_C,y_C)}.则

\displaystyle \begin{array}{rcl} S_1\overrightarrow{OA}+S_2\overrightarrow{OB}+S_3\overrightarrow{OC}&=& \begin{vmatrix} x_B&x_C\\ y_B&y_C \end{vmatrix} \begin{bmatrix} x_A\\ y_A \end{bmatrix}+ \begin{vmatrix} x_C&x_A\\ y_C&y_A \end{vmatrix} \begin{bmatrix} x_B\\ y_B \end{bmatrix}+ \begin{vmatrix} x_A&x_B\\ y_A&y_B \end{vmatrix} \begin{bmatrix} x_C\\ y_C \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} x_A&x_{B}&x_{C}\\ x_{A}&x_{B}&x_{C}\\ y_{A}&y_{B}&y_{C} \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} y_{A}&y_{B}&y_{C}\\ x_{A}&x_{B}&x_{C}\\ y_{A}&y_{B}&y_C \end{vmatrix} \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}. \end{array}

\Box

还有一种证明方法如下:

图3

证明3: 延长线段{AO},与{BC}交于点{D}.延长{BO},与{AC}交于点{E}.过点{C}作直线{OA}的 平行线,与直线{BO}交于点{A'},过点{C}作直线{OB}的平行线,与直线{AO}交于点 {B'}.则

\displaystyle \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA'}+\overrightarrow{CB'}=\frac{EC}{AE}\overrightarrow{OA}+\frac{DC}{BD}\overrightarrow{OB}=\frac{S_1}{S_3}\overrightarrow{OA}+\frac{S_2}{S_3}\overrightarrow{OB}.

所以

\displaystyle S_1\overrightarrow{OA}+S_2\overrightarrow{OB}+S_3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

\Box

也可以利用定比分点公式来证明.

证明4: 延长线段{AO},与线段{BC}交于点{D}.则 {\frac{BD}{DC}=\frac{S_3}{S_2}},由定比分点公式,

\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{S_2}{S_2+S_3}\overrightarrow{AB}+\frac{S_3}{S_2+S_3}\overrightarrow{AC},

因此

\displaystyle \begin{array}{rcl} \overrightarrow{AO}=\frac{S_2+S_3}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{AD}&=&\frac{S_2}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{AB}+\frac{S_3}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{AC} \\&=&\frac{S_2}{S_1+S_2+S_3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+\frac{S_3}{S_1+S_2+S_3}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}). \end{array}

整理可得

\displaystyle \frac{S_1}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{OA}+\frac{S_2}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{OB}+\frac{S_3}{S_1+S_2+S_3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

结论得证. \Box

推论1 当点{I}{\triangle ABC}的内心时,{S_1:S_2:S_3=a:b:c},其中{a,b,c}分别是 {\angle A,\angle B,\angle C}所对的边.此时有

\displaystyle a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.

 

注1:这道题的背景是三角形的重心坐标.可参见杨路的《谈谈重心坐标

 

如果引进有向面积的概念,则题目中的结论还可以推广.我们规定,对于 {\triangle ABC}来说,如果{ABC}三点在图形上是按照逆时针方向排列的,则 {S_{\triangle ABC}}为正,其数值就是{\triangle ABC}的面积;如果{\triangle ABC}在图形上是按照顺时针方向排列的,则{S_{\triangle ABC}}为负,其数值是 {S_{\triangle CBA}}的相反数.如果{A,B,C}三点排列在一条直线上,则其面积为 {0}.

这样,三角形的面积就可正可负.原结论可以推广为:

定理 1{O}为平面{ABC}上的任意 一点,则

\displaystyle S_{\triangle OAB}\overrightarrow{OA}+S_{\triangle OBC}\overrightarrow{OB}+S_{\triangle OCA}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

 

对于这个推广了的结论,上述四个证明都可以原封不动地照搬过来.只是在证明3,4中涉及的线段都成为有向线段.

推论 2 {O}{\triangle ABC}的外心,则

\displaystyle \sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}.

 

推论 3 设{H}{\triangle ABC}的垂心,则

\displaystyle \tan A \overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}.

 

Tags: , ,

培训地点:永临中学教师会议室

培训时间:2018.3.29

人员:高一、高二联合竞赛培训

 

培训材料(来自甘大旺编著的《高考数学150专题》):

有关三角形及其五心的向量关系来自甘大旺的《高考数学150专题》

下载

 

附加材料:

1.向量法证明三角形三条高线交于一点(一种更自然的思路),写于2018.3.31

向量法证明三角形三条高线交于一点

下载

2.一道与面积比有关的向量题

3.欧拉线定理的几何证明(来自维基百科)

4.坐标法证明欧拉线定理(此文用到了二阶行列式和解线性方程组的Cramer法则,以及和差化积、积化和差等三角公式,可能不适合学生阅读,仅供参考)

Tags: , , , , ,