循环矩阵

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习题 1 (南开大学2019年考研高等代数倒数第二题). 已知$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$,$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$,证明:
$$
x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1\leq \cos \frac{2\pi}{n}.
$$

证明 . 设向量$\bm{x}\in \mathbf{R}^n$,且$\bm{x}=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
$.则
$$
x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1=\bm{x}^TA\bm{x},
$$
其中$A_{n}=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$是$n\times n$对称矩阵,满足 $\forall 1\leq i\leq n-1$,$a_{i,i+1}=a_{i+1,i}=\frac{1}{2}$且$a_{1n}=a_{n1}=\frac{1}{2}$,其余元素都是$0$.

下面证明矩阵$A_{n}$的特征值为
$$
1,\cos \frac{2\pi}{n},\cos \frac{4\pi}{n},\cdots,\cos
\frac{2k\pi}{n},\cdots,\cos \frac{2(n-1)\pi}{n}.
$$

为此,令矩阵$P_n=(p_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$,满足$\forall 1\leq i\leq
n-1$,$p_{i,i+1}=1$,且$a_{n,1}=1$.其余元素都是$0$.则
$$
A_n=\frac{P_n+P_n^T}{2},
$$
易得矩阵$P_n$的转置$P_n^T=P_n^{n-1}$.

矩阵$P_n$的特征值为
$$
1,\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1},
$$
其中$\omega=e^{\frac{2\pi}{n}i}$是$n$次单位根.对于矩阵$P_n$来说,$\forall
0\leq k\leq n-1$,特征值$\omega^k$对应于特征向量$\bm{v}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^k\\
\omega^{2k}\\
\vdots\\
\omega^{(n-1)k}
\end{pmatrix}.
$

而矩阵$P_n^T$的特征值也是
$$
1,\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1}.
$$
对于矩阵$P_n^T$来说,$\forall 0\leq k\leq n-1$,特征值$\omega^k$对应于特征向量$$\bm{u}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{(n-1)k}\\
\omega^{(n-1)\cdot 2k}\\
\vdots\\
\omega^{(n-1)\cdot (n-1)k}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{-k}\\
\omega^{-2k}\\
\vdots\\
\omega^{-(n-1)k}
\end{pmatrix}.
$$
于是$\forall 0\leq k\leq n-1$,
\begin{align*}
A_n(\bm{v}_k+\bm{u}_k)&=\frac{P_n(\bm{v}_k+\bm{u}_k)+P_n^T(\bm{v}_k+\bm{u}_k)}{2}
\\&=\frac{P_n(\bm{v}_k)+P_n(\bm{u}_k)+P_n^T(\bm{v}_k)+P_n^T(\bm{u}_k)}{2}
\\&=\frac{\omega^k\bm{v}_k+\omega^{n-k}\bm{u}_k+\omega^{n-k}\bm{v}_k+\omega^k\bm{u}_k}{2}
\\&=\frac{\omega^k+\omega^{n-k}}{2}(\bm{v}_k+\bm{u}_k)
\end{align*}

因此矩阵$A_n$的特征值是$\frac{\omega^k+\omega^{n-k}}{2}$,$0\leq k\leq n-1$,即,矩阵$A_n$的特征值是
$$
1,\cos \frac{2\pi}{n},\cos \frac{4\pi}{n},\cdots,\cos
\frac{2k\pi}{n},\cdots,\cos \frac{2(n-1)\pi}{n}.
$$

对于矩阵$A$来说,特征值$1$是最大的特征值,它对应的特征向量是$
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}
$.但是由
$$
x_1+x_2+\cdots+x_n=0
$$
可得,单位向量$\bm{x}$垂直于该特征向量.因此$\bm{x}^TA\bm{x}$的最大值只可能是矩阵$A_n$的第二大特征值$\cos \frac{2\pi}{n}$.当且仅当单位向量$\bm{x}$与$\cos \frac{2\pi}{n}$的特征向量共线时,$\bm{x}^TA\bm{x}$取得最大值.

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在这里,我们求一个对称循环矩阵的特征值.同样的方法可以推广到一般情形,不再赘述.

问题 1. 求对称循环矩阵$A=
\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0\\
0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0\\
0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}&0
\end{pmatrix}
$的特征值.

设矩阵
$$
P=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0
\end{pmatrix},
$$
$$
Q=P^T=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&1\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}=P^4.
$$
矩阵
$$
A=\frac{P+Q}{2}.
$$
而由博文几个基本循环矩阵的特征值,矩阵$P$的特征值是
$$
\omega^0,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,
$$
其中$\omega=e^{\frac{2\pi}{5}i}$.对于矩阵$P$来说,$\forall 0\leq k\leq 4$,特征值$\omega^{k}$对应的特征向量为$
\bm{v}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{k}\\
\omega^{2k}\\
\omega^{3k}\\
\omega^{4k}
\end{pmatrix}.
$更详细地说,对于矩阵$P$,特征值$1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4$对
应的特征向量依次为
$$
\bm{v}_0=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega\\
\omega^2\\
\omega^3\\
\omega^4
\end{pmatrix},\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{2}\\
\omega^4\\
\omega\\
\omega^3
\end{pmatrix},\bm{v}_3=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^3\\
\omega\\
\omega^{4}\\
\omega^2
\end{pmatrix},\bm{v}_4=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^4\\
\omega^3\\
\omega^2\\
\omega
\end{pmatrix}.
$$
矩阵$Q$的特征值是
$$
\omega^{0},\omega^4,\omega^3,\omega^2,\omega,
$$
对于矩阵$Q$来说,$\forall 0\leq k\leq 4$,特征值$\omega^k$对应的特征向量为$\bm{v}_k’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{4k}\\
\omega^{3k}\\
\omega^{2k}\\
\omega^{k}
\end{pmatrix}$.更详细地说,对于矩阵$Q$,特征值$1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^{4}$对应的特征向量依次为
$$
\bm{v}_0’=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},\bm{v}_1’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^{4}\\
\omega^3\\
\omega^2\\
\omega
\end{pmatrix},\bm{v}_2’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^3\\
\omega\\
\omega^4\\
\omega^2
\end{pmatrix},\bm{v}_3’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega^2\\
\omega^4\\
\omega\\
\omega^3
\end{pmatrix},\bm{v}_4’=
\begin{pmatrix}
1\\
\omega\\
\omega^2\\
\omega^3\\
\omega^4
\end{pmatrix}.
$$
于是,$\forall 0\leq k\leq 4$,
\begin{align*}
A(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)&=\frac{P(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)+Q(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)}{2}
\\&=\frac{P(\bm{v}_k)+P(\bm{v}_k’)+Q(\bm{v}_k)+Q(\bm{v}_k’)}{2}
\\&=\frac{\omega^{k}\bm{v}_k+\omega^{5-k}\bm{v}_k’+\omega^{5-k}\bm{v}_k+\omega^{k}\bm{v}_k’}{2}
\\&=\frac{\omega^{k}+\omega^{5-k}}{2}(\bm{v}_k+\bm{v}_k’)
\\&=\cos \frac{2k\pi}{5}
\begin{pmatrix}
2\\
2\cos \frac{2k\pi}{5}\\
2\cos \frac{4k\pi}{5}\\
2\cos \frac{6k\pi}{5}\\
2\cos \frac{8k\pi}{5}
\end{pmatrix}
\end{align*}
所以矩阵$A$的特征值是$\frac{\omega^k+\omega^{5-k}}{2}$,即
$$
1,\cos \frac{2\pi}{5},\cos \frac{4\pi}{5},\cos \frac{6\pi}{5},\cos \frac{8\pi}{5},
$$
对于矩阵$A$来说,这些特征值对应的特征向量依次是
$$
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
\cos \frac{8\pi}{5}\\
\cos \frac{6\pi}{5}\\
\cos \frac{4\pi}{5}\\
\cos \frac{2\pi}{5}
\end{pmatrix}.
$$

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在这里,我们计算若干简单的循环矩阵的特征值以及这些特征值对应的特征向量.

问题 1. $A=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$.

设矩阵$A$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&1\\
1&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$
解得$\lambda_1=1$,$\lambda_2=-1$.特征值$1$对应的特征向量是$
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
$,特征值$-1$对应的特征向量是$
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
$.
问题 2. $A=
\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{bmatrix}
$.

设矩阵$A$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&1&0\\
0&-\lambda&1\\
1&0&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$

$$
\lambda^3-1=0,
$$
解得$\lambda_1=1$,$\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{3}i}$,$\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{3}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_2\\
\lambda_2^2
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应的特征成立$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
1\\
\lambda_3\\
\lambda_3^{2}
\end{bmatrix}.
$
问题 3. $A’=
\begin{bmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{bmatrix}
$.

设矩阵$A’$的特征值是$\lambda$,则
$$
\det (A’-\lambda I)=0,
$$

$$
\begin{vmatrix}
-\lambda&0&1\\
1&-\lambda&0\\
0&1&-\lambda
\end{vmatrix}=0,
$$
解得$\lambda_1=1,\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{3}i},\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{3}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_2\\
\lambda_2^2
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应的特征向量$\bm{v}_3=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_3\\
\lambda_3^2
\end{pmatrix}.
$
注记 1. 让我们观察问题2和问题3的关系.事实上,
$$
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{pmatrix}^2=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix},
$$
因此问题3中矩阵的特征值是问题2中矩阵特征值的平方.而特征值
$$
1,e^{\frac{2\pi}{3}i},e^{\frac{4\pi}{3}i}
$$
的平方依次是
$$
1,e^{\frac{4\pi}{3}i},e^{\frac{2\pi}{3}i}.
$$
这解释了为什么问题3中矩阵的特征值依旧和例2中矩阵的特征值相同.

问题 4. 下面我们来求矩阵
$$
A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}
$$
的特征值和特征向量,其中$\forall 1\leq i\leq n-1$,$a_{i,i+1}=1$,且$a_{6,1}=1$,而其余元素都是$0$.

设矩阵$A$的特征值为$\lambda$,则
$$
\det (A-\lambda I)=0,
$$

$$
(-\lambda)^n+(-1)^{n-1}=0,
$$

$$
\lambda^n-1=0.
$$
解得
$\lambda_1=1,\lambda_2=e^{\frac{2\pi}{n}i}$,$\lambda_3=e^{\frac{4\pi}{n}i}$,$\cdots$,$\lambda_k=e^{\frac{2\pi(k-1)}{n}i}$,$\cdots$,$\lambda_n=e^{\frac{2\pi (n-1)}{n}i}$.特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_1\\
\lambda_1^2\\
\vdots\\
\lambda_1^{n-1}
\end{pmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_{2}\\
\lambda_2^{2}\\
\vdots\\
\lambda_2^{n-1}
\end{pmatrix},\cdots,
$特征值$\lambda_n$对应的特征向量$\bm{v}_k=
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_{n}\\
\lambda_n^2\\
\vdots\\
\lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}.
$
问题 5. 对于矩阵
$$
A’=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}
$$
其中
$b_{1,m}=b_{2,m+1}=\cdots=b_{n-m+1,n}=1$,$b_{n-m+2,1}=b_{n-m+3,2}=\cdots=b_{n-m+k,k-1}=\cdots=b_{n,m-1}=1$.由

$$
A’=A^m,
$$
其中$A$是问题4中的矩阵.因此矩阵$A’$的特征值是
$$
\lambda_1’=\lambda_{1}^{m}=1,\lambda_2’=\lambda_{2}^{m}=e^{\frac{2m\pi}{n}i},\lambda_3’=\lambda_3^m=e^{\frac{4m\pi}{n}i},\cdots,\lambda_k’=\lambda_k^m=e^{\frac{2m\pi(k-1)}{n}i},\cdots,\lambda_n’=\lambda_n^m=e^{\frac{2m\pi(n-1)}{n}i}.
$$

$$
\lambda_1′,\lambda_2′,\cdots,\lambda_n’
$$
只不过是
$$
\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{n}
$$
的一个置换.因此矩阵$A’$的特征值和矩阵$A$的特征值相同.对于矩阵$A’$来说,特征值$\lambda_k’$所对应的特征向量是$
\begin{pmatrix}
1\\
\lambda_k’\\
\lambda_k’^2\\
\vdots\\
\lambda_k’^n
\end{pmatrix}.
$

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