有向面积

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现行中学教材中是用如下方式定义两个平面向量的夹角的:已知两个非零向量 {\mathbf{a},\mathbf{b}},作{\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}},{\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}},则{\angle AOB}称作 向量{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}的夹角,记作{\langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}.

下面我们给出两个平面向量的广义夹角的概念.对于平面向量{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OB}},如果将{\overrightarrow{OA}}以点{O}为旋转中心,逆时针旋转 {\theta}角,得到的向量{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OB}}同向,则称 {\theta}为从向量{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OB}}的广义夹角,记为{\langle \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle^{*}}.

 

从一个向量到另一个向量的广义夹角有无数个,它们都相差{2\pi}的整数倍.

 

由定义可得

\displaystyle \langle \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle^{*}=2k\pi -\langle \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\rangle^{*},k\in\mathbf{Z}.

且由诱导公式{\cos\theta=\cos(2k\pi -\theta)}可得

\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\langle \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\langle \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle^{*}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\langle \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\rangle^{*}. \ \ \ \ \ (1)

(1)表明,在向量积的运算中,可以放心地用从某个向量到另一个向量 的广义夹角来代替两个向量的夹角,运算得到的结果会是相同的.

下面我们将广义夹角的概念与三角形的有向面积的概念联系起来.设平面上有三 点{A,B,C}.

  • 如果{A,B,C}三点按照逆时针方向排列,则三角形{ABC}的有向面积 {S_{\triangle ABC}}为正,其数值为 {\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle^{*}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BA}|\sin \langle \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\rangle^{*}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\sin\langle \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle^{*}}.
  • 如果{A,B,C}三点按照顺时针方向排列,则三角形{ABC}的有向面积 {S_{\triangle ABC}}为负,其数值也为 {\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin\langle \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle^{*}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BA}|\sin \langle \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\rangle^{*}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\sin\langle \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle^{*}}.

可见,引入向量广义夹角的概念有助于解释有向面积.

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