祖暅原理

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{\mathbf{R}^n}中,有一个{n}维的锥体 {P_{n}}.{P_{n}}{n+1}个顶点,其中一个顶点是 {(0,0,\cdots,0)},剩下的{n}个顶点的坐标是单位矩阵{I_n}的各个行向量(当{n=2}时,{P_{2}}是三角形;当{n=3}{P_{3}}是四面体).可 以用积分的方法来计算{P_{n}}的体积,不过下面我们利用高维祖暅原理和割补法来计算{P_{n}}的体积.

首先,我们来确定{n}维单位方块 {C_{n}}的顶点和组成它的{n-1}维面的个 数.{C_{n}}是二维的单位正 方形和三维的单位正方体的概念的高维推广,且{C_{n}}的每条边都是单位长 度.组成它的{n-1}维面是{n-1}维 的单位方块.计数使用的方法 是递推法,递推依据的是高维方块的形成过程:每个{n+1}维的方块都可以看作是 一个{n}维方块在新的维度上平行拖动一定距离而形成的图形.

{C_{n}}{f(n)}个顶点,则由高维方块的形成过程,可得递推关系{f(n+1)=2f(n)},且 {f(1)=2},因此{f(n)=2^n}.即{n}维方块 {C_{n}}{2^n}个顶点.设{C_{n}}{n-1}维 面有 {g(n)}个.则由高维方块 的形成过程,可得递推关系{g(n+1)=g(n)+2},且{g(1)=2}.因此{g(n)=2n}.即 {C_{n}}{n-1}维面有{2n}个.比如:{2}维的正方形有 {4}条边,{3}维的立方体有{6}个正方形面.

{C_{n}}的某个{n-1}维面上有{2^{n-1}}个顶点,将这些顶点和不在该{n-1}维 面上的某个{C_n}的顶点{D_{i}}连接,形成一个{n}维的锥体 {Q_n}.{C_n}共能分割为{n}个形 状和{Q_n}相同的几何体.这是因为,{C_n}共有{2n}{n-1}维面,其中经过顶点 {D_i}{n-1}维面有{n}个(根据{C_n}的形成过程),因此不包含顶点{D_i}{n-1}维面有{2n-n=n}个,{D_i}与这{2n-n=n}个面中的每一个面都能组成一个和 {Q_n}形状相同的几何体,所有这些几何体恰好能填满{C_{n}}.因此{Q_n}的体积 是{\frac{1}{n}}.

上面这段论证结合高维祖暅原理,可得,一个{n}维椎体的体积,是同底等高的 {n}维柱体体积的{\frac{1}{n}}.

{P_n}的体积是{V_n}.则可得递推关系:

\displaystyle V_{n+1}=\frac{1}{n}V_n,V_1=1.

因此{V_n=\frac{1}{n!}}.

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