离散动力系统

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设矩阵$A=
\begin{bmatrix}
1.7&0.6\\
-0.4&0.7
\end{bmatrix}
$,则矩阵$A$的特征值
$$
\lambda_1=1.1,\lambda_2=1.3.
$$
特征值$\lambda_1$对应的特征向量是$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
3\\
-2
\end{bmatrix}
$.

根据David C.Lay的《线性代数及其应用》第5.6节,动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的最大排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向以及其反方向,最小排斥方向是向量$\bm{v}_2$的方向和其反方向.

问题是,该怎么理解一个动力系统的最大排斥方向和最小排斥方向呢?毕竟在David C.Lay的教材内也没有给出一个明确的定义.

笔者在此,对离散动力系统的最大排斥方向和最小排斥方向给出一种很有诱惑力的,然而是错误的理解

设$|\bm{x}|=1$.若$\bm{x}$指示的方向与其反方向是动力系统的最大排斥方向,则$|A\bm{x}|$应为最大.若$\bm{x}$指示的方向与其反方向是动力系统的最小排斥方向,则$|A\bm{x}|$应为最小.

于是只用考虑下面的问题:

已知$|\bm{x}|=1$时,求当$\bm{x}$为何值时,$|A\bm{x}|$分别取最大值和最小值.

如果求出的$\bm{x}$分别为特征向量$\pm\frac{\bm{v}_1}{|\bm{v}_1|}$与$\pm\frac{\bm{v}_2}{|\bm{v}_2|}$,则表明我们对最大排斥方向的理解是正确的.(可惜下面的计算结果表明对最大和最小排斥方向的这种理解是错的).

易得
$$
|A\bm{x}|=\sqrt{\bm{x}^TA^TA\bm{x}},
$$
由于$A^TA$是对称矩阵,因此由谱分解定理,可以将$A^TA$谱分解:
\begin{align*}A^TA&=U^{T}DU\\&=
\begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}^{T}
\begin{bmatrix}
1.95-\sqrt{1.7576}&0\\
0&1.95+\sqrt{1.7576}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}&\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2
\sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
\end{align*}
令$U\bm{x}=\bm{x}’$.且设$\bm{x}’=
\begin{bmatrix}
x’\\
y’
\end{bmatrix}
$.易得$|\bm{x}’|=1$.
$$
|A\bm{x}|=\sqrt{\bm{x}’^TD\bm{x}’}=(1.95-\sqrt{1.7576})x’^2+(1.95+\sqrt{1.7576})y’^2,
$$
当且仅当$x’=0,y’=\pm 1$时,$|A\bm{x}|$取得最大值;当且仅当$x’=\pm
1,y’=0$时,$|A\bm{x}|$取得最小值.

即,当且仅当$\bm{x}=\pm
\begin{bmatrix}
\frac{-0.74}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{1.1+\sqrt{1.7576}}{\sqrt{3.5152+2.2 \sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
$时,$|A\bm{x}|$取得最小值;当且仅当$\bm{x}=\pm
\begin{bmatrix}
\frac{0.74}{\sqrt{3.5152-2.2 \sqrt{1.7576}}}\\
\frac{\sqrt{1.7576}-1.1}{\sqrt{3.5152-2.2 \sqrt{1.7576}}}
\end{bmatrix}
$时,$|A\bm{x}|$取得最大值.但是求出的$\bm{x}$的这些方向并非矩阵$A$的特征向量所指示的方向.这预示着我们对动力系统的最大和最小排斥方向的这种理解是错误的.

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习题 1. 设$2\times 2$矩阵$A$的特征值是$3$和$\frac{1}{3}$.对应的特征向量为$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
$和$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix}
$.$\{\bm{x}_k\}$是差分方程$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的解,$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
9\\
1
\end{bmatrix}
$.

  • 计算$\bm{x}_1=A\bm{x}_0$.
  • 求$\bm{x}_k$包含$k$和特征向量$\bm{v}_1$及$\bm{v}_2$的公式.


证明 .


  • $$
    \bm{x}_0=5\bm{v}_1-4\bm{v}_2,
    $$
    因此
    $$
    \bm{x}_1=A\bm{x}_0=A(5\bm{v}_1-4\bm{v}_2)=5A(\bm{v}_1)-4A(\bm{v}_2)=15\bm{v}_1-\frac{4}{3}\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    \frac{49}{3}\\
    \frac{41}{3}
    \end{bmatrix}.
    $$

  • $$
    x_k=A^k\bm{x}_0=A^k(5\bm{v}_1-4\bm{v}_2)=5A^k(\bm{v}_1)-4A^k(\bm{v}_2)=5\times
    3^k\bm{v}_1-4\times (\frac{1}{3})^k\bm{v}_2.
    $$


习题 2. 设矩阵$A$具有上题所描述的性质.

  • 原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子还是排斥子还是鞍点?
  • 求该动力系统的最大吸引方向或排斥方向.
  • 作该系统的几何描述.显示最大吸引方向或排斥方向,包括若干典型轨迹
    的草图(不用计算具体的点).


证明 .

  • 原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.
  • 该动力系统的最大排斥方向是$\bm{v}_1$的方向,最大的吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 事实上,矩阵
    $$
    A=
    \begin{bmatrix}
    1&-1\\
    1&1
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    3&0\\
    0&\frac{1}{3}
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    1&-1\\
    1&1
    \end{bmatrix}^{-1}=
    \begin{bmatrix}
    \frac{5}{3}&\frac{4}{3}\\
    \frac{4}{3}&\frac{5}{3}
    \end{bmatrix}.
    $$
    在GeoGebra中作出轨迹的部分图像如下所示:

This image has an empty alt attribute; its file name is 1-700x723.png

习题 3. 假设$3\times 3$矩阵$A$的特征值是$3,\frac{4}{5},\frac{3}{5}$,对应的特征向量为$
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-3
\end{bmatrix}
$,$
\begin{bmatrix}
2\\
1\\
-5
\end{bmatrix}
$,$
\begin{bmatrix}
-3\\
-3\\
7
\end{bmatrix}
$.设$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
-2\\
-5\\
3
\end{bmatrix}
$,对给定的$\bm{x}_0$求方程$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的解,并描述当$k\to\infty$时有何结果.

证明 . 记$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-3
\end{bmatrix}
$,$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
2\\
1\\
-5
\end{bmatrix}
$,$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
-3\\
-3\\
7
\end{bmatrix}
$.则
$$
\bm{x}_0=2\bm{v}_1+\bm{v}_2+2\bm{v}_{3}.
$$

$$
\bm{x}_{k}=A^k\bm{x}_0=A^k(2\bm{v}_1+\bm{v}_2+2\bm{v}_3)=2\times
3^k\bm{v}_1+(\frac{4}{5})^k\bm{v}_2+2\times (\frac{3}{5})^k\bm{v}_3.
$$
当$k\to\infty$时,$\frac{\bm{x}_k}{3^k}\to 2\bm{v}_1$.

习题 4. 若矩阵$A$具有上题描述的性质,原点是该动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子,排斥子还是鞍点?求最大吸引方向或排斥方向.

证明 . 原点是该动力系统的鞍点.最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向,最大吸引方向是向量$\bm{v}_3$的方向.

习题 5. 在古老的Douglas冷杉森林中,斑点猫头鹰主要以鼯鼠为食.设这两个种群的捕食者-食饵矩阵$A=
\begin{bmatrix}
0.4&0.3\\
-p&1.2
\end{bmatrix}
$,证明,若捕食参数$p$为$0.325$,则两个种群的数量都是增长的.预测长期增长率及猫头鹰与鼯鼠的最终比率.

证明 . 设在时间$k$,猫头鹰的数目是$O_k$,鼯鼠的数目是$R_k$.则
$$
\begin{bmatrix}
O_{k+1}\\
R_{k+1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0.4&0.3\\
-0.325&1.2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
O_k\\
R_k
\end{bmatrix}.
$$
可求得矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=\frac{11}{20}$,$\lambda_2=\frac{21}{20}$.因此这两个种群的数目,就长期来看,都是增长的.长期增长率为$\frac{21}{20}$.由于矩阵$A$的特征值$\frac{21}{20}$对应于特征向量$
\begin{bmatrix}
6\\
13
\end{bmatrix}
$,因此猫头鹰和鼯鼠的最终比率为$6:13$.

习题 6. 若上一题中的捕食参数为0.5,证明猫头鹰和鼯鼠最终都会灭亡.$p$取何值时,两者的数量保持稳定?此时,两者的数量关系是什么?

证明 . 当$p=0.5$时,矩阵$A$的特征值是$0.7,0.9$.无论是哪个特征值都小于$1$,因此
猫头鹰和鼯鼠最终会灭亡.

当$p=0.4$时,两者的数量保持稳定.因为特征值$1$对应的特征向量是$
\begin{bmatrix}
1\\
2
\end{bmatrix}
$,因此在稳定情形,猫头鹰和鼯鼠的比例关系是$1:2$.


习题 7. 在下面的习题中,把原点归类为动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子
或排斥子或鞍点.并求最大的吸引方向或排斥方向.

  • $A=
    \begin{bmatrix}
    1.7&-0.3\\
    -1.2&0.8
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.3&0.4\\
    -0.3&1.1
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.4&0.5\\
    -0.4&1.3
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.5&0.6\\
    -0.3&1.4
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    0.8&0.3\\
    -0.4&1.5
    \end{bmatrix}
    $.
  • $A=
    \begin{bmatrix}
    1.7&0.6\\
    -0.4&0.7
    \end{bmatrix}
    $.


证明 .

  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=2,\lambda_2=\frac{1}{2},
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量是$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    -1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    4
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.最大的吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向,最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=0.9,\lambda_2=0.5,
    $$
    特征值$\lambda_2$对应的特征向量是$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    2\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的吸引子.最大的吸引方向为向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=0.8,\lambda_2=0.9.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    5\\
    4
    \end{bmatrix}
    $,$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.最大吸引方向为向量$\bm{v}_1$对应的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.1,\lambda_2=0.8.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    2\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的鞍点.最大排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向,最大吸引方向是向量$\bm{v}_2$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值
    $$
    \lambda_1=1.2,\lambda_2=1.1.
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    3\\
    4
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    1
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的排斥子,最大的排斥方向是向量$\bm{v}_1$的方向.
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.1,\lambda_2=1.3,
    $$
    特征值$\lambda_1$对应的特征向量为$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    1\\
    -1
    \end{bmatrix}
    $,特征值$\lambda_2$对应的特征向量为$\bm{v}_2=
    \begin{bmatrix}
    3\\
    -2
    \end{bmatrix}
    $.原点是动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$的排斥子.最大排斥方向是向量$\bm{v}_2$的方向.


习题 8. 设$A=
\begin{bmatrix}
0.4&0&0.2\\
0.3&0.8&0.3\\
0.3&0.2&0.5
\end{bmatrix}
$,向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
0.1\\
0.6\\
0.3
\end{bmatrix}
$是$A$的特征向量,$A$的两个特征值是0.5和0.2,求动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$满足$\bm{x}_0=(0,0.3,0.7)$的解,当$k\to\infty$时,$\bm{x}_k$会如何?

证明 . 矩阵$A$的特征值是
$$
\lambda_1=1,\lambda_2=0.5,\lambda_3=0.2.
$$
特征值$\lambda_1$对应于特征向量$\bm{v}_1=
\begin{bmatrix}
0.1\\
0.6\\
0.3
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_2$对应于特征向量$\bm{v}_2=
\begin{bmatrix}
0.2\\
-0.3\\
0.1
\end{bmatrix}
$,特征值$\lambda_3$对应于特征向量$\bm{v}_3=
\begin{bmatrix}
-0.1\\
0\\
0.1
\end{bmatrix}
$. 可得
$$
\bm{x}_0=0.1\bm{v}_1-0.8\bm{v}_2-1.5\bm{v}_3.
$$
所以动力系统$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$满足$\bm{x}_0=
\begin{bmatrix}
0\\
0.3\\
0.7
\end{bmatrix}
$的解是
$$
\bm{x}_k=A^k\bm{x}_0=A^k(0.1\bm{v}_1-0.8\bm{v}_2-1.5\bm{v}_3)=0.1\bm{v}_1-0.8\times
(0.5)^k\bm{v}_2-1.5\times 0.2^k\bm{v}_3.
$$
当$k\to\infty$时,$\bm{x}_k\to 0.1\bm{v}_1$.

习题 9. 为某动物种类建立阶段矩阵模型.该动物的生命周期分为2个阶段,幼年期(1岁以前)和成年期.假设每只成年雌性一年平均生下1.6只幼年雌性.每年,有$30\%$的幼年存活下来进入成年和$80\%$的成年仍然存活.对$k\geq 0$,设$\bm{x}_k=(j_k,a_k)$,其中$\bm{x}_k$的分量表示在$k$年幼年和成年的数量.

  • 构造阶段矩阵$A$,使得对$k\geq 0$时,有$\bm{x}_{k+1}=A\bm{x}_k$.
  • 证明动物的数量是增长的,并计算最终增长率和幼年与成年的最终比率.


证明 .

  • 由题意,
    $$
    \begin{bmatrix}
    j_{k+1}\\
    a_{k+1}
    \end{bmatrix}=
    \begin{bmatrix}
    0&1.6\\
    0.3&0.8
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    j_k\\
    a_k
    \end{bmatrix}.
    $$
    所以矩阵$A=
    \begin{bmatrix}
    0&1.6\\
    0.3&0.8
    \end{bmatrix}.
    $
  • 矩阵$A$的特征值是
    $$
    \lambda_1=1.2,\lambda_2=-0.4.
    $$
    其中有一个特征值大于$1$,所以动物的数量是增长的.最终的增长率是每年增长
    $20\%$.特征值$\lambda_1$对应于特征向量$\bm{v}_1=
    \begin{bmatrix}
    4\\
    3
    \end{bmatrix}
    $.所以幼年和成年的最终比率为$4:3$.

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