面积原理

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华罗庚《高等数学引论》第一册第十章第13节的定理2如下:


定理:若$x\geq a$,$f(x)$是一个非负递减函数,则极限
$$
\lim_{N\to \infty} \left[ \sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x \right]=\alpha
$$
存在,且$0\leq \alpha\leq f(a)$.进而言之,当$x\to\infty$时,若$f(x)\to
0$,则
$$
\left| \sum_{a\leq n\leq \xi}f(n)-\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x-\alpha
\right|\leq f(\xi-1).(\mbox{若}\xi\geq a+1).
$$


虽然没指明,但是按照华先生的意思,定理中的$a$应该是一个整数.所以下面我们将定理陈述得更好些,然后我们证明,该定理可以加强为

定理的加强:已知$a$是整数.$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上是一个非负递减函数,则极限
$$
\lim_{N\to \infty} \left[ \sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x \right]=\alpha
$$
存在,且$0\leq \alpha\leq f(a)$.进而言之,当$x\to\infty$时,若$f(x)\to
0$,则
$$
\left| \sum_{a\leq n\leq \xi}f(n)-\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x-\alpha
\right|< f(\xi).(\mbox{若}\xi\geq a).
$$


首先,我们来证明极限
$$
\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x \right]=\alpha
$$
存在,且$0\leq a\leq f(a)$.

证明 . 因为$f(x)$是非负递减函数,所以由确界原理,$f(x)$在定义域内有下确界$m$.首
先,我们有
$$
\sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x=\left[\sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x\right]+f(N).
$$

$$
g(N)=\sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x,
$$
则$g(N)$是关于$N$的递增函数,这是因为,
\begin{align*} g(N+1)-g(N)&=\left[ \sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^{N+1}f(x)\mathrm{d}x \right]-\left[ \sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\int_a^{N}f(x)\mathrm{d}x \right] \\&=f(N)-\int_N^{N+1}f(x)\mathrm{d}x \\&=\int_N^{N+1}[f(N)-f(x)]\mathrm{d}x \\&>0. \end{align*}
且函数$g(N)$的一个上界是$f(a)-m$.这是因为,
\begin{align*} g(N)&=\sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x \\&\leq\sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\sum_{n=a}^{N-1}f(n+1)0 \\&=f(a)-f(N) \\&\leq f(a)-m. \end{align*}
由于$g(N)$递增且有上界,因此由确界原理,极限$\lim_{N\to\infty}g(N)$存在,
且$\lim_{N\to\infty}g(N)\leq f(a)-m$.于是,
$$
0\leq \lim_{N\to\infty} \left[ \sum_{n=a}^Nf(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x
\right]=\lim_{N\to\infty}g(N)+\lim_{N\to\infty}f(N)
\leq [f(a)-m]+m=f(a).
$$

然后证明,若当$x\to\infty$时,$f(x)\to 0$,则
$$
\left| \sum_{a\leq n\leq\xi}f(n)-\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x-\alpha
\right|< f(\xi).(\mbox{若}\xi\geq a)
$$
证明 . 已知
$$
\alpha=\lim_{N\to\infty}\left[\sum_{n=a}^{N}f(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x\right],
$$
然而由于$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$,所以也有
$$
\alpha=\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=a}^{N-1}f(n)-\int_a^Nf(x)\mathrm{d}x \right].
$$

\begin{align*} \sum_{a\leq n\leq \xi}f(n)-\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x-\alpha&=\lim_{N\to\infty}\left[\int_{\xi}^Nf(x)\mathrm{d}x- \sum_{\xi < n\leq N-1}f(n) \right] \\&= \int_{\xi}^{[\xi+1]}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\int_{n}^{n+1}f(x)\mathrm{d}x-\sum_{\xi < n\leq
N-1}f(n) \right]
\\&= \int_{\xi}^{[\xi+1]}f(x)\mathrm{d}x-\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\left( \int_n^{n+1}(f(n)-f(x))\mathrm{d}x \right) \right].
\end{align*}



\begin{align*} \sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\left( \int_n^{n+1}(f(n)-f(x))\mathrm{d}x \right)&<\sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\left( \int_n^{n+1}(f(n)-f(n+1))\mathrm{d}x \right) \\&=\sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}(f(n)-f(n+1)) \\&=f([\xi+1])-f(N), \end{align*}
因此
$$
0<\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\left(
\int_n^{n+1}(f(n)-f(x))\mathrm{d}x \right) \right]< f([\xi+1])<f(\xi).
$$
且由于
$$
0<\int_{\xi}^{[\xi+1]}f(x)\mathrm{d}x<f(\xi),
$$
因此
$$
-f(\xi)<\int_{\xi}^{[\xi+1]}f(x)\mathrm{d}x-\lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=[\xi+1]}^{N-1}\left(
\int_n^{n+1}(f(n)-f(x))\mathrm{d}x \right) \right]<f(\xi),
$$

$$
\left|\sum_{a\leq n\leq
\xi}f(n)-\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x-\alpha\right|<f(\xi).
$$

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