Ceva定理

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陈娥老师代她朋友的儿子问我两道平面几何题,其中一题如下:

题目:已知$\triangle ABC$,过点$B,C$的圆分别交$AC,AB$于点$E,F$,$BE$与$CF$交于点$P$,$AP$交$BC$于点$D$,若$\angle BFD=\angle CFD$,求证:$BE=CE$.

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证明:由赛瓦定理,
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,
\end{equation}
又因为$ED$是$\angle BFC$的角平分线,由角平分线分线段成比例定理,
\begin{equation}\label{eq:2}
\frac{FB}{FC}=\frac{BD}{DC}.
\end{equation}
将关系\eqref{eq:2}代入关系\eqref{eq:1},可得
$$
\frac{AF}{FB}\cdot \frac{FB}{FC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,
$$
化简可得
\begin{equation}\label{eq:3}
\frac{AF}{FC}=\frac{EA}{CE}.
\end{equation}
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如图2所示,连接$EF$,延长线段$FD$交圆于点$H$.连接$BH$.

由角平分线分线段成比例定理的逆定理,关系式\eqref{eq:3}表明$EF$是$\angle AFC$的角平分线.则
$$
\angle EFH=\angle EFC+\angle CFH=\frac{1}{2}\angle
AFC+\frac{1}{2}\angle CFB=\frac{1}{2}\angle AFB=90^{\circ}.
$$
即圆周角$\angle EFH$为直角,故$EH$为圆的直径.由直径所对的圆周角为直角,可得$\angle EBH=90^{\circ}$.设$\angle BFD=\angle HFC=\alpha$,则由于圆周角$\angle HBC$和圆周角$HFC$对应于同一个圆心角,故
$$
\angle HBC=\angle HFC=\alpha,
$$
则$\angle EBC=\angle EBH-\angle HBC=90^{\circ}-\alpha$.

下面求角$\angle ECB$.因为
\begin{align*}
\angle EFB&=\angle EFC+\angle CFB
\\&=(\angle EFH-\angle CFH)+\angle CFB
\\&=(90^{\circ}-\alpha)+2\alpha
\\&=90^{\circ}+\alpha,
\end{align*}

$$
\angle ECB=180^{\circ}-\angle
EFB=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}-\alpha=\angle EBC.
$$
故$\angle EBC$是等腰三角形,其中$EB=EC$.$\Box$

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