Lax《微积分及其应用》

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问题 1 (习题1.22). 利用四舍五入来求和,使得其和的误差不超过$10^{-9}$.
\begin{align*}
&{\color{red}0.1234567898}765432104567898765432101
\\+&{\color{red}9.1111112221}112221118765432104567892
\end{align*}

解答 1.1. 只用取这两个小数的小数点后10位相加即可,所得误差会小于$2\times 10^{-10}$.

问题 2 (习题1.27). 以$s_1=1$作为第一项近似值找到$\sqrt{3}$的前四项近似值$s_1,s_2,s_3,s_4$,并迭代得到
$$
s_{n+1}=\frac{1}{2}\left(s_n+\frac{3}{s_n}\right).
$$
若以$s_1=2$作为第一项近似值,结果如何?

解答 2.1. $$
s_1=1,s_2=2,s_3=\frac{7}{4},s_4=\frac{97}{56}.
$$
若以$s_1=2$作为第一项近似值,则结果会更加精确.可算得$s_4=\frac{18817}{10864}$.

问题 3 (习题1.41). 设由比值判别法可知级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$收敛.利用比值判别法证明级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_n$也收敛.那么级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nn^5a_n$呢?

解答 3.1. $$
\lim_{n\to\infty}\frac{|(n+1)a_{n+1}|}{|na_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1. $$ 故$\sum_{n=0}^{\infty}na_n$收敛.对于级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nn^5a_n$来说, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|(-1)^{n+1}(n+1)^{5}a_{n+1}|}{|(-1)^{n}n^{5}a_n|}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^5\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1. $$ 故$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nn^5a_n$发散.

问题 4 (习题1.42). 证明级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}$发散.
解答 4.1. 因为$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1$,所以该级数发散.
问题 5 (习题1.47,1.49). 判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.
  • $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$.
  • $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^4+1}}$.
解答 5.1.
  • 因为$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1$, 所以级数发散.
  • $$ \frac{n}{\sqrt{n^4+1}}>\frac{n}{\sqrt{4n^4}}=\frac{1}{2n}.
    $$
    而级数
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n}
    $$
    发散,故级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^4+1}}$发散.

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